Question

50 баллов! Векторы a и b взаимно перпендикулярны. Зная что |a|=3, |b|=4 вычислить |[(a+b)(a-b)]|

Answer 1

$|[(a+b)(a-b)]|=|[a,a]-[a,b]+[b,a]-[b,b]|=|\vec{o}-[a,b]-[a,b]-\vec{o}|=|(-2)*[a,b]|=|-2|*|[a,b]|=2*|a|*|b|*sin(\frac{\pi}{2})=2*3*4*1=24$  

* $[a,a]=\vec{o}$ и $[b,b]=\vec{o}$, так как вектора в каждом из этих двух векторных произведений, очевидно, коллинеарны.

* $[b,a]=-[a,b]$ по свойству векторного произведения.

* $|\vec{o}|=0$

Answer 2

Давайте разберёмся с этим математическим выражением по шагам.

1. Вспомним формулу для скалярного произведения векторов: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)$ где $\theta$ - угол между векторами.

2. Поскольку векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ взаимно перпендикулярны, угол между ними $\theta = 90^\circ$, следовательно, $\cos(\theta) = 0$.

3. Скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ в этом случае равно нулю: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$

4. Теперь выразим сумму и разность векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$: $\mathbf{a} + \mathbf{b} = (3, 0) + (0, 4) = (3, 4)$ $\mathbf{a} - \mathbf{b} = (3, 0) - (0, 4) = (3, -4)$

5. Вычислим произведение $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b})$: $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = (3, 4) \cdot (3, -4)$

6. Рассчитаем скалярное произведение: $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = (3 \times 3) + (4 \times -4) = 9 - 16 = -7$

7. Теперь найдем модуль этого скалярного произведения: $|(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b})| = |-7| = 7$

Итак, $|[(\mathbf{a}+\mathbf{b})(\mathbf{a}-\mathbf{b})]| = 7$.