Question

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 13. Два игрока по очереди стирают по одному числу, пока не останется три числа. Если эти три числа могут быть сторонами невырожденного треугольника, то выигрывает первый игрок, если нет - то второй. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?

Answer 1

вырожденный треугольник, треугольник у которого все три стороны лежат на одной прямой, вывод из этого свойства, что две меньшие стороны этого треугольника это половинки большей стороны. то есть большая сторона это сумма двух меньших. Если первый игрок старательно стирает числа, которые не дадут в сумме третьего большего числа, то вырожденных треугольников не будет. Пример 1,2,4,7,10,13 - тут еще осталось 6 чисел, но уже в любом порядке не может собраться вырожденный треугольник, тоесть сумма любых двух чисел в ряде не может быть третьим числом из этого же ряда. тоесть первый игрок выиграл.

Answer 2

Для решения данной задачи определим, какие тройки чисел могут быть сторонами невырожденного треугольника.

Для образования невырожденного треугольника выполняется условие: сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Таким образом, для трех чисел a, b, c (где a < b < c) могут быть сторонами невырожденного треугольника, если и только если a + b > c.

Давайте рассмотрим, какие тройки чисел удовлетворяют этому условию:

• Для 1, 2, 3: 1 + 2 > 3 (удовлетворяет условию)
• Для 2, 3, 4: 2 + 3 > 4 (удовлетворяет условию)
• Для 3, 4, 5: 3 + 4 > 5 (удовлетворяет условию)
• И так далее...

Видно, что для каждой тройки чисел вида n, n+1, n+2, условие a + b > c выполняется, и они могут быть сторонами невырожденного треугольника.

Так как на доске написаны числа от 1 до 13, первый игрок может выбрать любую из троек чисел вида n, n+1, n+2, где n может быть 1, 2, 3, ..., 11 (поскольку для n=12 и n=13 нет третьей стороны, такой что a + b > c). Это означает, что первый игрок всегда может выбрать тройку чисел, которая может быть сторонами невырожденного треугольника.

Таким образом, первый игрок имеет выигрышную стратегию.