Question

Найти производную функции у=(2x^5-3/(куб.корень из x)+7)^5

Answer 1

$y=\Big (\frac{2x^5-3}{\sqrt[3]{x}+7}\Big )^5\\\\y'=5\cdot \Big (\frac{2x^5-3}{\sqrt[3]{x}+7}\Big )^4\cdot \frac{10x^4\cdot (\sqrt[3]{x}+7)-(2x^5-3)\cdot \frac{1}{3}\cdot x^{-2/3}}{(\sqrt[3]{x}+7)^2}=\\\\=5\cdot \Big (\frac{2x^5-3}{\sqrt[3]{x}+7}\Big )^4\cdot \frac{30\sqrt[3]{x^{14}}\cdot (\sqrt[3]{x}+7)-2x^5+3}{3\cdot \sqrt[3]{x^2}\cdot (\sqrt[3]{x}+7)^2}=\\\\=5\cdot \Big (\frac{2x^5-3}{\sqrt[3]{x}+7}\Big )^4\cdot \frac{28x^5+210\sqrt[3]{x^{14}}+3}{3\cdot \sqrt[3]{x^{2}}\cdot (\sqrt[3]{x}+7)^2}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $y = (2x^5 - \frac{3}{\sqrt[3]{x}} + 7)^5$, вам потребуется применить правило цепочки (chain rule) и правило степеней (power rule) для дифференцирования.

Давайте начнем с правила цепочки. Если у вас есть функция $u(x) = 2x^5 - \frac{3}{\sqrt[3]{x}} + 7$, то $y$ можно записать как $y(u) = u^5$. Теперь давайте найдем производные этих двух функций.

1. Найдем производную $u(x)$:

$u'(x) = \frac{d}{dx} (2x^5 - \frac{3}{\sqrt[3]{x}} + 7)$

Для этого используем правило суммы и правило степеней:

$u'(x) = 10x^4 + 3x^{-4/3}$

2. Теперь найдем производную $y(u)$ с учетом правила степеней:

$y'(u) = 5u^4$

3. Наконец, примените правило цепочки, умножая производные $u'(x)$ и $y'(u)$:

$y'(x) = y'(u) \cdot u'(x) = 5u^4 \cdot (10x^4 + 3x^{-4/3})$

Теперь у вас есть производная функции $y$ по $x$:

$y'(x) = 5(2x^5 - \frac{3}{\sqrt[3]{x}} + 7)^4 \cdot (10x^4 + 3x^{-4/3})$

Вы можете упростить это выражение, если это необходимо, но это уже окончательный результат.