Question

Показать, что (a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)

Answer 1

показать:

(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)

1) (a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)=(а^3 +b^3)(a^3 -b^3) = a^6 - b^6

2) (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)= a^6 + b^6

вывод: (a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)≠(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение, используя алгебраические манипуляции. Начнем с левой стороны:

(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)

Для начала умножим (a+b)(a-b):

(a^2 - b^2)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)

Теперь раскроем скобки по формуле (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b):

(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)

Теперь у нас есть две пары скобок, которые можно раскрыть по формулам:

1. (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
2. (a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) = a^4 - (ab)^2 + b^4

Подставляем эти результаты в исходное уравнение:

(a^2 - b^2)(a^4 - (ab)^2 + b^4)

Теперь можно заметить, что это выражение является разностью квадратов:

(a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)

Итак, получаем:

(a + b)(a - b)(a^4 - (ab)^2 + b^4)

Теперь раскроем скобку (a + b)(a - b) снова:

(a + b)(a - b)(a^4 - (ab)^2 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^4 - (ab)^2 + b^4)

А как мы ранее убедились, (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b), поэтому:

(a^2 - b^2)(a^4 - (ab)^2 + b^4) = (a + b)(a - b)(a + b)(a - b)

Теперь у нас есть произведение двух одинаковых скобок (a + b)(a - b), и мы можем сократить их:

(a + b)(a - b)(a + b)(a - b) = (a + b)^2(a - b)^2

Теперь, чтобы окончательно упростить это выражение, давайте вспомним, что (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 и (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:

(a + b)^2(a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2)

Теперь можно умножить многочлены в скобках:

(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2) = a^4 - (2ab)^2 + b^4

(a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2) = a^4 - 4a^2b^2 + b^4

Таким образом, мы показали, что левая сторона равенства равна правой стороне равенства:

(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) = a^4 - 4a^2b^2 + b^4

Что и требовалось доказать.