Question

2a в квадрате + b в квадрате +c в квадрате больше или ровно 2 a (b+c)

Answer 1

Ответ:

Требуется доказать: 2·a²+b²+c²≥2·a·(b+c).

Так как

(a-b)²≥0 и (a-c)²≥0,

то верно неравенство:

(a-b)²+(a-c)²≥0.

Раскроем скобки и преобразуем последнее неравенство

(a-b)²+(a-c)²≥0 ⇔ a²-2·a·b+b²+a²-2·a·c+c²≥0 ⇔

⇔ a²+a²+b²+c²≥2·a·b+2·a·c ⇔ 2·a²+b²+c²≥2·a·(b+c),

что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним квадратичным:

Для любых действительных чисел $x$ и $y$ справедливо следующее неравенство:

$$\frac{{x^2 + y^2}}{2} \geq \frac{{(x + y)^2}}{4}$$

Мы можем применить это неравенство к $x = a^2$ и $y = b^2 + c^2$, чтобы получить:

$$\frac{{a^4 + (b^2 + c^2)^2}}{2} \geq \frac{{(a^2 + (b^2 + c^2))^2}}{4}$$

Теперь упростим это неравенство:

$$a^4 + (b^2 + c^2)^2 \geq \frac{{(a^2 + (b^2 + c^2))^2}}{2}$$

Заметьте, что $a^2 + (b^2 + c^2)$ это $2a(b + c)$, так как:

$$a^2 + (b^2 + c^2) = a^2 + b^2 + c^2 = 2a(b + c)$$

Теперь подставим это обратно в неравенство:

$$a^4 + (b^2 + c^2)^2 \geq \frac{{(2a(b + c))^2}}{2}$$

$$a^4 + (b^2 + c^2)^2 \geq 2a^2(b + c)^2$$

Таким образом, мы доказали, что $a^4 + (b^2 + c^2)^2 \geq 2a^2(b + c)^2$, что и требовалось доказать.