Question

Стоит терем-теремок из 5 этажей.Каждый этаж можно покрасить в синий или красный цвет( соседние этажи могут быть одного цвета).Сколько существует различных раскрасок этого теремка?Подробно!

Answer 1

2,5 красным цветом

2,5 синим

Answer 2

2.5- синий
2.5- красный

Answer 3

Для этой задачи мы можем использовать метод динамического программирования. Обозначим $dp[i][j]$ как количество способов покрасить первые $i$ этажей, при условии, что последний этаж имеет цвет $j$. Здесь $i$ принимает значения от 1 до 5 (количество этажей), а $j$ принимает значения 0 для красного цвета и 1 для синего цвета.

Используем рекуррентное соотношение для расчета $dp[i][j]$:

$dp[i][j] = \sum_{k=0}^{1} dp[i-1][k]$

Это означает, что количество способов покрасить первые $i$ этажей определенным образом зависит от количества способов покрасить первые $i-1$ этажей с различными цветами на последнем этаже.

Теперь рассчитаем количество раскрасок для каждого этажа:

1. Для первого этажа ($i = 1$):

$dp[1][0] = 1 \quad \text{(красный цвет)}$ $dp[1][1] = 1 \quad \text{(синий цвет)}$

2. Для последующих этажей ($i = 2, 3, 4, 5$):

$$\begin{align*} dp[2][0] &= dp[1][0] + dp[1][1] \quad \text{(красный цвет)} \\ dp[2][1] &= dp[1][0] + dp[1][1] \quad \text{(синий цвет)} \end{align*}$$

$$\begin{align*} dp[3][0] &= dp[2][0] + dp[2][1] \quad \text{(красный цвет)} \\ dp[3][1] &= dp[2][0] + dp[2][1] \quad \text{(синий цвет)} \end{align*}$$

И так далее для $i = 4$ и $i = 5$.

Теперь рассчитаем общее количество раскрасок для теремка из 5 этажей, учитывая последний этаж может быть либо красного, либо синего цвета:

$$\text{Total number of colorings} = dp[5][0] + dp[5][1]$$

Рассчитаем значения $dp[i][j]$ и найдем общее количество раскрасок:

$$\begin{align*} dp[1][0] &= 1, \quad dp[1][1] &= 1 \\ dp[2][0] &= 2, \quad dp[2][1] &= 2 \\ dp[3][0] &= 4, \quad dp[3][1] &= 4 \\ dp[4][0] &= 8, \quad dp[4][1] &= 8 \\ dp[5][0] &= 16, \quad dp[5][1] &= 16 \\ \end{align*}$$

Общее количество раскрасок:

$$\text{Total number of colorings} = dp[5][0] + dp[5][1] = 16 + 16 = 32$$

Итак, существует 32 различных раскраски для теремка из 5 этажей, где каждый этаж может быть покрашен в синий или красный цвет.