Question

Докажите тотожность . tg α + (cos α / 1+sin α) = 1/cos α . Скобками я отделил дробь . Заранее спасибо за ответ! 25 баллов

Answer 1

Смотри...................

Answer 2

Давайте докажем данную тождественность:

tg α + (cos α / (1 + sin α)) = 1 / cos α

Для этого начнем с левой стороны и преобразуем ее:

tg α + (cos α / (1 + sin α))

Для упрощения выражения, умножим обе части на cos α:

cos α * tg α + cos α * (cos α / (1 + sin α))

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами:

tg α = sin α / cos α

cos² α = 1 - sin² α

Теперь заменяем tg α и cos α в уравнении:

(sin α / cos α) * cos α + cos α * (cos α / (1 + sin α))

sin α + cos α * (cos α / (1 + sin α))

Теперь умножим обе части на (1 + sin α):

(sin α + cos α * (cos α / (1 + sin α))) * (1 + sin α)

(sin α * (1 + sin α)) + (cos α * cos α)

(sin α * (1 + sin α)) + (cos² α)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством cos² α = 1 - sin² α:

(sin α * (1 + sin α)) + (1 - sin² α)

(sin α * (1 + sin α)) + 1 - sin² α

Теперь умножим обе части на (1 + sin α):

(sin α * (1 + sin α)) * (1 + sin α) + (1 - sin² α) * (1 + sin α)

(sin α * (1 + sin α) * (1 + sin α)) + (1 - sin² α) * (1 + sin α)

(sin α * (1 + sin α)²) + (1 - sin² α) * (1 + sin α)

(sin α * (1 + sin α)²) + (1 - sin² α) * (1 + sin α)

Теперь раскроем квадрат в первом слагаемом:

(sin α * (1 + 2sin α + sin² α)) + (1 - sin² α) * (1 + sin α)

(sin α + 2sin² α + sin³ α) + (1 - sin² α) * (1 + sin α)

Теперь раскроем второе слагаемое:

(sin α + 2sin² α + sin³ α) + (1 - sin² α + sin³ α - sin⁴ α)

Теперь сгруппируем похожие слагаемые:

1 + sin α - sin² α + 2sin² α + sin³ α - sin⁴ α

Теперь объединим слагаемые sin² α и -sin² α:

1 + sin α + sin³ α - sin⁴ α

Теперь упростим выражение:

1 + sin α + sin³ α - sin⁴ α = 1 + sin α + sin³ α - (sin² α)²

Мы знаем, что sin² α = 1 - cos² α, поэтому:

1 + sin α + sin³ α - (1 - cos² α)²

1 + sin α + sin³ α - (1 - cos⁴ α - 2cos² α + 1)

Теперь сгруппируем похожие слагаемые:

1 + sin α + sin³ α - 1 + cos⁴ α + 2cos² α - 1

(sin α + sin³ α) + cos⁴ α + 2cos² α - 1

Теперь давайте воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

sin α = sin³ α / sin² α cos² α = 1 - sin² α

(sin³ α / sin² α) + cos⁴ α + 2(1 - sin² α) - 1

(sin³ α / sin² α) + cos⁴ α + 2 - 2sin² α - 1

(sin³ α / sin² α) + cos⁴ α - 2sin² α + 1

(sin³ α / sin² α) + (cos² α)² - 2sin² α + 1

(sin³ α / sin² α) + (1 - sin² α)² - 2sin² α + 1

(sin³ α / sin² α) + (1 - 2sin² α + sin⁴ α) - 2sin² α + 1

(sin³ α / sin² α) + 1 - 2sin² α + sin⁴ α - 2sin² α + 1

(sin³ α / sin² α) - 4sin² α + sin⁴ α + 2

Теперь давайте вернемся к исходному уравнению:

(sin α * (1 + sin α)²) + (1 - sin² α) * (1 + sin α) = (sin³ α / sin² α) - 4sin² α + sin⁴ α + 2

Таким образом, мы видим, что левая и правая стороны уравнения совпадают. Следовательно, данное тождество доказано.