Question

Послідовність b(n), є геометричною прогресією, у якій b(4)=8,b(7)=512. 1)Знайдіть знаменник цієї прогресії 2)Скільки перший членів прогресії потрібно взяти, щоб їхня сума дорівнювала 2цілих пять восьмих Напишіть з формулами, розв'язування. Дуже треба поможіть. Віддячу.

Answer 1

Дано:

b(n) - геометрическая прогрессия;

b₄ = 8;

b₇ = 512

1) Найти q.

2) Найти n при S(n)=2 ⁵/₈

Решение.

1) Воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии: $b_n=b_1q^{n-1}$

$b_4=b_1q^3;$

$b_7=b_1q^6;$

Подставим  b₄ = 8; и b₇ = 512 и получим:

$8=b_1q^3$;

$512=b_1q^6$

Второе уравнение преобразуем:

$512=b_1q^3 *q^3$

Подставим из первого уравнения $b_1q^3=8$ во второе и получим:

$512=8 *q^3$

$q^3=512:8$

$q^3=64$

$q=\sqrt[3]{64}$

$q=4$

2) Найдем b₁ с помощью первого уравнения:

$8=b_1q^3=>8=b_1*4^3$

$b_1=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}$

$b_1=\frac{1}{8}$

3)Воспользуемся формулой суммы первых членов геометрической прогрессии:

$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Подставим  $S_n=2\frac{5}{8};q=4;b_1=\frac{1}{8}$

$2\frac{5}{8} =\frac{\frac{1}{8}*(4^n-1)}{4-1}$

$\frac{21}{8} =\frac{4^n-1}{8*3}$

$8*(4^n-1)=21*8*3$

$4^n-1=63$

$4^n=63+1$

$4^n=64$

$4^n=4^3$

$n=3$

3 перших члена прогресії потрібно взяти, щоб їхня сума дорівнювала

2 ⁵/₈

Ответ: 1) q=4;

           2) n=3

Проверка:

¹/₈ + ⁴/₈ + ¹⁶/₈ = ²¹/₈ = 2 ⁵/₈

Answer 2

1. Знайдення знаменника геометричної прогресії: Загальна формула для n-го члена геометричної прогресії (b(n)) виглядає так:

b(n) = b(1) * r^(n-1)

де b(1) - перший член прогресії, r - знаменник, n - номер члена прогресії.

Ми знаємо, що b(4) = 8 і b(7) = 512. Ми можемо використовувати ці дані для побудови системи рівнянь:

b(4) = b(1) * r^(4-1) = 8 b(7) = b(1) * r^(7-1) = 512

Тепер розв'яжемо цю систему рівнянь. Перше рівняння:

b(1) * r^3 = 8

Друге рівняння:

b(1) * r^6 = 512

Тепер поділімо друге рівняння на перше:

(b(1) * r^6) / (b(1) * r^3) = 512 / 8

Це дає:

r^3 = 64

Тепер візьмемо кубічний корінь обох сторін:

r = 4

Отже, знаменник геометричної прогресії рівний 4.

2. Знайдення кількості перших членів прогресії для досягнення суми 2 цілих п'ять восьмих:

Сума n перших членів геометричної прогресії обчислюється за формулою:

S(n) = b(1) * (1 - r^n) / (1 - r)

Де S(n) - сума перших n членів прогресії, b(1) - перший член прогресії, r - знаменник.

Ми хочемо знайти таке n, при якому S(n) дорівнює 2 цілим п'ять восьмих, тобто 2 + 5/8.

Спочатку підставимо значення знаменника r = 4:

S(n) = b(1) * (1 - 4^n) / (1 - 4)

Тепер підставимо значення, яку ми хочемо отримати:

2 + 5/8 = b(1) * (1 - 4^n) / (-3)

Перегруповуємо рівняння:

b(1) * (1 - 4^n) = (-3) * (2 + 5/8)

b(1) * (1 - 4^n) = -19/8

Тепер ми маємо рівняння для знаходження n:

1 - 4^n = -19/8

4^n = 1 + 19/8

4^n = 27/8

Тепер знайдемо n, взявши логарифм обох сторін:

n * log(4) = log(27/8)

n = log(27/8) / log(4)

n ≈ 1.7712

Оскільки n має бути цілим числом (неможливо мати частину числа членів), то найближче ціле число, більше або рівне 1.7712, дорівнює 2.

Отже, потрібно взяти принаймні 2 перших члени геометричної прогресії, щоб їхня сума дорівнювала 2 цілим п'ять восьмих.