Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника точкой касания вписанной окружности делится в отношении 12:5 считая от вершины угла при основании треугольника. найдите радиус вписанной окружности если площадь треугольника равняется 1680 см^2

Answer 1

S = pr, где p = 0,5(AB + BC + AC) = 0,5(17x + 17x + 24x) = 29x.  

По формуле Герона S =√(p(p - AB)(p - BC)(p - AC)) =  

=√(29x(29x - 17x)(29x - 17x)(29x - 24x)) = √(29x∙12x∙12x∙5x) = 12√(145)x².

Имеем, 12√(145)x² = 1680; √(145)x² = 140; x² = 140/√(145) = 140√(145)/145 =

= 28√(145)/29; x = √(28√(145)/29) = 2√(7√(145)/29).

p = 29∙2√(7√(145)/29) = 2√(29∙7√(145)) = 2√(203√(145))  (см).

r = S/p = 1680/2√(203√(145)) = 840/√(203√(145))(см).

Answer 2

Давайте обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника как AB, точку касания вписанной окружности как T, и точку деления стороны AB как P. Мы знаем, что боковая сторона AB делится в отношении 12:5, то есть AP:PB = 12:5.

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон) равен s. Так как треугольник равнобедренный, то две его стороны равны друг другу, и мы можем обозначить их как AC и BC, где C - это середина стороны AB.

Площадь треугольника можно выразить через его полупериметр s и радиус вписанной окружности r:

Площадь треугольника = s * r

Также, мы знаем, что сумма длин отрезков AP и PB равна длине стороны AB:

AP + PB = AB

Мы знаем, что AP:PB = 12:5, поэтому мы можем записать:

AP = (12 / 17) * AB PB = (5 / 17) * AB

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ATP. Он имеет гипотенузу AT (радиус вписанной окружности) и катет AP:

AT^2 = AP^2 + PT^2

Мы знаем, что AP = (12 / 17) * AB и PT = r (радиус вписанной окружности), поэтому:

AT^2 = ((12 / 17) * AB)^2 + r^2

Теперь мы знаем, что полупериметр треугольника s равен половине суммы всех его сторон:

s = (AB + AC + BC) / 2

Так как AC и BC - это половины стороны AB, то:

s = (AB + (1/2) * AB + (1/2) * AB) / 2 = (AB + AB) / 2 = AB

Теперь мы можем выразить AB через s:

AB = 2s

Теперь мы можем подставить это выражение для AB в формулу для AT^2:

AT^2 = ((12 / 17) * 2s)^2 + r^2

AT^2 = (24 / 17) * s^2 + r^2

Теперь мы можем выразить площадь треугольника через s и r:

Площадь треугольника = s * r = (24 / 17) * s^2

Мы знаем, что площадь треугольника равна 1680 см^2, поэтому:

(24 / 17) * s^2 = 1680

Умножим обе стороны на 17/24, чтобы избавиться от дроби:

s^2 = (1680 * 17) / 24

s^2 = 1190

Теперь найдем s, вычислив квадратный корень:

s = √(1190)

Теперь мы знаем s и можем найти радиус вписанной окружности AT, используя уравнение для AT^2:

AT^2 = (24 / 17) * s^2 + r^2

(r^2) = AT^2 - (24 / 17) * s^2

(r^2) = (√(1190))^2 - (24 / 17) * (1190)

r^2 = 1190 - (24 / 17) * 1190

r^2 = 1190 * (1 - 24/17)

r^2 = 1190 * (17/17 - 24/17)

r^2 = 1190 * (-7/17)

Теперь вычислим r:

r = √(1190 * (-7/17))

r ≈ √(-70)

Поскольку радиус не может быть отрицательным, это означает, что в равнобедренном треугольнике не существует вписанной окружности, удовлетворяющей условиям задачи.