Question

Sin4x - 1 / (cos2x - sin2x)^2 = -1

Answer 1

Ответ:

x ∈ R, x ≠ $\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi }{2}, k$ ∈ Z.

Объяснение:

$\frac{sin(4x) - 1}{(cos(2x) - sin(2x))^{2} } = -1$

Найдём область допустимых значений:

$\frac{sin(4x) - 1}{(cos(2x) - sin(2x))^{2} } = -1$, x ≠ $\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi }{2}, k$ ∈ Z.

В числителе - выносим "минус" за скобки и меняем порядок членов, а в знаменателе разворачиваем выражения, используя формулу

(a-b)² = a² - 2ab + b²:

$\frac{-(1-sin(4x))}{(cos(2x)² - 2cos(2x)sin(2x) + sin(2x)^{2} } = -1$

Упрощаем выражение с помощью формулы sin(x)² + cos(x)² = 1 и формулы 2 * sin(x) + cos(x) = sin(2 * x):

$\frac{-(1-sin(4x))}{1 - 2cos(2x)sin(2x)} = -1$

$\frac{-(1-sin(4x))}{1 - sin(4x)} = -1$

Используя правило "Любое выражение, разделённое на противоположное себе выражение, равно -1":

-1 = -1

x ∈ R, x ≠ $\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi }{2}, k$ ∈ Z.

Answer 2

Let's simplify the given expression step by step:

$\frac{\sin(4x) - 1}{(\cos(2x) - \sin(2x))^2} = -1$

1. Expand the square in the denominator: $(\cos(2x) - \sin(2x))^2 = \cos^2(2x) - 2\cos(2x)\sin(2x) + \sin^2(2x)$

2. Use the trigonometric identity $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$: $\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1$

   Now, substitute this into the expanded denominator: $(\cos(2x) - \sin(2x))^2 = 1 - 2\cos(2x)\sin(2x)$

3. Substitute back into the original expression: $\frac{\sin(4x) - 1}{1 - 2\cos(2x)\sin(2x)} = -1$

4. Multiply both sides by the denominator: $\sin(4x) - 1 = - (1 - 2\cos(2x)\sin(2x))$

5. Distribute the negative sign: $\sin(4x) - 1 = 2\cos(2x)\sin(2x) - 1$

6. Add 1 to both sides: $\sin(4x) = 2\cos(2x)\sin(2x)$

7. Divide both sides by $\sin(2x)$ (assuming $\sin(2x) \neq 0$): $\sin(2x) = 2\cos(2x)$

8. Divide both sides by 2: $\frac{\sin(2x)}{2} = \cos(2x)$

This is the simplified form of the given expression. Keep in mind that this result assumes that $\sin(2x) \neq 0$ to avoid division by zero. If $\sin(2x) = 0$, additional considerations may be needed.