Question

Докажите неравенство 12у-4у^2-11<0

Answer 1

Ответ:

Неравенство верно

Объяснение:

1-способ: 12·y-4·у²-11 = -4·(y²-3·y+11/4) =

= -4·((y²-3·y+9/4)+11/4-9/4) = -4·( (y-3/2)²+1/2)≤ -2 < 0, так как

4·( (y-3/2)²+1/2) = 4·(y-3/2)²+2 ≥ 2

2-способ. Функция f(y)=12·y-4·у²-11  - эта парабола, a= -4, b= 12, c= -11.

d=b²-4·a·c = 12² - 4·(-4)·(-11) = 144 - 176 <0, это означает, что график параболы не пересекает ось Оу, т.е. график находится целиком выше чем Оу или целиком ниже чем Оу. Коэффициент -4 < 0 при у², так что ветви параболы направлены вниз. Отсюда заключаем, что парабола находится целиком ниже чем Оу, т.е. f(y) < 0

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, нам нужно найти интервалы значений переменной y, для которых неравенство 12y - 4y^2 - 11 < 0 истинно.

Давайте начнем с того, что перепишем неравенство в стандартной форме:

-4y^2 + 12y - 11 < 0

Затем мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней этой параболы:

-4y^2 + 12y - 11 = 0

Сначала найдем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac

где a = -4, b = 12 и c = -11. Подставим значения:

D = 12^2 - 4*(-4)*(-11) D = 144 - 176 D = -32

Дискриминант отрицателен, что означает, что у нас нет реальных корней для этого уравнения. Теперь посмотрим на график параболы:

Поскольку коэффициент перед самым высоким членом (в данном случае, -4y^2) отрицателен, парабола открывается вниз. Из отсутствия реальных корней следует, что парабола не пересекает ось x.

Чтобы найти интервалы, в которых -4y^2 + 12y - 11 < 0, мы можем использовать знаки коэффициента перед y^2 (отрицательный) и неравенства D (отрицательный).

Итак, неравенство -4y^2 + 12y - 11 < 0 выполняется для всех значений переменной y. То есть, оно истинно для всех действительных чисел y.

Итак, неравенство 12y - 4y^2 - 11 < 0 верно для всех значений переменной y.