Question

Пусть x1 и x2 корни уравнения 2x2−5x−4=0. Не вычисляя корней, найдите значение выражения x1x42+x2x41. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Answer 1

За теоремою Вієта $x_1+x_2=2{,}5;~~ x_1x_2=-2$.

$x_1x_2^4+x_2x_1^4=x_1x_2(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=\\ \\ =x_1x_2(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=-2\cdot 2{,}5\cdot (2{,}5^2+6)=-61{,}25.$

Answer 2

Для нахождения значения выражения x₁x₄² + x₂x₄¹, где x₁ и x₂ - корни уравнения 2x² - 5x - 4 = 0, а x₄ - это некоторое число, мы можем воспользоваться формулой Виета.

Согласно формулам Виета, для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, сумма корней равна x₁ + x₂ = -b/a, а произведение корней равно x₁x₂ = c/a.

В данном случае a = 2, b = -5, и c = -4. Мы знаем, что x₁ и x₂ - корни данного уравнения, поэтому:

x₁ + x₂ = -(-5) / 2 = 5/2 x₁x₂ = (-4) / 2 = -2

Теперь у нас есть значения x₁ + x₂ и x₁x₂. Теперь мы можем найти значение выражения x₁x₄² + x₂x₄¹.

x₁x₄² + x₂x₄¹ = (x₁ + x₂) * x₄² - 2 * x₄¹

Подставляем известные значения:

= (5/2) * x₄² - 2 * x₄¹

Теперь у нас нет конкретного значения x₄, поэтому мы не можем вычислить точное численное значение этого выражения без дополнительной информации о x₄. Мы можем оставить его в виде выражения с переменной x₄:

(5/2) * x₄² - 2 * x₄¹