Question

1. Сколько существует четырёхзначных чисел, первая цифра которых чётная, а последняя нечётная? 2. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что? а) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой; б) 6 певцов накануне сорвали голос, и одной певице придётся петь мужскую роль?

Answer 1

1) Возьмём четырёхзначное число и поставим ограничения на первую и последнюю цифру. Для первого места подходят все чётные цифры, кроме нуля (4 варианта), для последнего все 5 нечётных, а посередине подходят все. По правилу произведения получается 4 · 10 · 10 · 5 = 2000.

2) $a)\; C_{10}^5\cdot C_8^3 = \frac{10!}{5!\cdot5!}\cdot\frac{8!}{3!\cdot 5!} = \frac{6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}{2\cdot3\cdot4\cdot5}\cdot\frac{6\cdot7\cdot8}{2\cdot3} = 7\cdot2\cdot9\cdot2\cdot7\cdot8 = 14112$

$b)\;C_5^5\cdot C_7^3=1\cdot\frac{5\cdot6\cdot7}{2\cdot3} = 5\cdot7 = 35$

Answer 2

1. Давай посчитаем: для первой цифры у нас есть 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8), для последней - 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9). Для оставшихся двух цифр у нас по 10 вариантов (0-9). Так что общее количество четырехзначных чисел с заданными условиями равно $5 \times 10 \times 10 \times 5 = 2500$.

2. а) Если все прекрасно ладят, то мы просто умножаем количество вариантов для каждой группы (мужчины и женщины): $C_{10}^5 \times C_{8}^3$.

   б) Если 6 певцов потеряли голос, остается 4 певца. Также, одна из певиц будет петь мужскую роль, так что у нас остается 7 певиц. Тогда количество вариантов равно $C_{4}^4 \times C_{7}^3$.

Вот такие вот математические головоломки!