Question

1/3x^3-x=a. При каком а имеет 3 корня​

Answer 1

Ответ:

a=0

Объяснение:

a=0

x(1/3* x^2-1)=0

x=0      1/3x^2-1=0

           1/3*x^2=1

            x^2=3    x=\sqrt{3\\     x= - \sqrt{3\\

Answer 2

Для того чтобы уравнение $1/3x^3 - x = a$ имело 3 корня, мы можем воспользоваться теоремой Бюддена-Фурье. Согласно этой теореме, число корней уравнения $f(x) = 0$ с учетом их кратности равно разности степени уравнения и степени его производной.

В данном случае, степень уравнения $1/3x^3 - x = a$ равна 3 (наивысшая степень переменной $x$), а степень его производной равна 2 (поскольку производная от $1/3x^3 - x = a$ равна $x^2 - 1$). Таким образом, разность степеней равна $3 - 2 = 1$.

Чтобы уравнение имело 3 корня, это означает, что один из корней должен иметь кратность 2 (быть двойным корнем), и два других корня должны быть простыми. Следовательно, чтобы уравнение имело 3 корня, $1/3x^3 - x = a$ должно иметь корень кратности 2.

Для нахождения значения $a$, при котором один из корней кратен 2, мы можем взять производную от уравнения и найти его корни:

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - x\right) &= x^2 - 1 \\ x^2 - 1 &= 0 \\ x^2 &= 1 \\ x &= \pm 1 \end{align*}$$

Корни производной уравнения $x^2 - 1 = 0$ равны $x = 1$ и $x = -1$. Один из этих корней (например, $x = 1$) будет кратным корнем уравнения $1/3x^3 - x = a$, если и только если значение $a$ равно значению этого корня в уравнении.

Таким образом, для того чтобы уравнение $1/3x^3 - x = a$ имело 3 корня, $a$ должно быть равно 1 или -1:

1. Если $a = 1$, то уравнение имеет 3 корня: 1 (кратный корень) и два других корня, которые могут быть найдены, решая $1/3x^3 - x = 1$ и $1/3x^3 - x = -1$.

2. Если $a = -1$, то также получится 3 корня, но корень -1 будет кратным корнем, и два других корня можно найти, решая $1/3x^3 - x = -1$.