Question

1. Функция f (x)= x - ax^3 имеет минимальное значение, равное - 2/3 , и максимальное значение , равное 2/3 на отрезке [-2;0]. (1) Найдите значение параметра a. (2) Используя результаты предыдущего действия, найдите: a) промежутки монотонности функции на отрезке [-3;3]; b) точки перегиба графика функции.

Answer 1

Ответ:

Вот

Объяснение:должно быть правильно

Answer 2

Давайте решим поочерёдно.

(1) Найдите значение параметра a.

Дано, что функция $f(x) = x - ax^3$ имеет минимальное значение -2/3 и максимальное значение 2/3 на отрезке [-2;0].

1. Найдем минимум функции $f(x) = x - ax^3$:

   • Найдем производную и приравняем её к нулю: $f'(x) = 1 - 3ax^2$ $1 - 3ax^2 = 0$ $3ax^2 = 1$ $x^2 = \frac{1}{3a}$ $x = \pm \sqrt{\frac{1}{3a}}$

2. Поскольку у нас задан отрезок [-2;0], то подходит только $x = -\sqrt{\frac{1}{3a}}$.

3. Найдем значение функции в найденной точке минимума: $f\left(-\sqrt{\frac{1}{3a}}\right) = -\sqrt{\frac{1}{3a}} - a\left(-\sqrt{\frac{1}{3a}}\right)^3 = -\sqrt{\frac{1}{3a}} + \frac{a}{\sqrt{27a^3}} = -\frac{1}{\sqrt{3a}} + \frac{a}{\sqrt{27a^3}} = -\frac{1}{\sqrt{3a}} + \frac{a}{3\sqrt{a^3}}$

4. Аналогично, найдем максимум функции:

   • Максимум будет на краю отрезка, то есть при $x = 0$. $f(0) = 0 - a \cdot 0^3 = 0$

Условие гласит, что минимум равен -2/3, а максимум равен 2/3. Из полученных значений сразу видно, что $a$ должно быть положительным, так как если $a$ было бы отрицательным, минимум и максимум функции тоже были бы отрицательными. Поэтому:

$-\frac{1}{\sqrt{3a}} + \frac{a}{3\sqrt{a^3}} = -\frac{2}{3}$

$a \sqrt{a} - \sqrt{3} \cdot a^{3/2} = -2$

Теперь у нас есть уравнение относительно $a$, которое нужно решить.

(2) Используя результаты предыдущего действия, найдите:

a) Промежутки монотонности функции на отрезке [-3;3].

Для анализа монотонности производной $f'(x)$ нужно знать значения $a$. Как только $a$ будет найдено, мы сможем найти промежутки монотонности.

b) Точки перегиба графика функции.

Точки перегиба соответствуют моментам, когда у производной $f'(x)$ есть экстремум. Для этого нужно найти значения $x$, при которых $f''(x) = 0$. После того, как значение 0 0