Question

1.Найти все первообразные а) f(x)=x3-x2+2x-1 2. Найдите первообразную функции f(x)= 5x+7, график которой проходит через точку (2,-4) 3. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=1, х=3, осью ОХ и графиком функции у=х2

Answer 1

Ответ:1

1. на фото

2. Первообразная в общем виде: 2,5x^2+7x+C

Так как проходит через точку (-2; 4) то, 10-14+C=4, отсюда C=8

Ответ: 2,5x^2+7x+8

3. -

Answer 2

1. Найдем первообразную функции $f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 1$:

Для этого возьмем интеграл от $f(x)$ по переменной $x$:

$$\int (x^3 - x^2 + 2x - 1) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x^2 - x + C,$$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функции $f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 1$ равна:

$$F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x^2 - x + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная.

2. Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 5x + 7$, график которой проходит через точку (2,-4), нужно добавить постоянную так, чтобы значение функции в точке (2,-4) совпало с $f(2)$. Таким образом, мы имеем:

$$-4 = 5 \cdot 2 + 7 + C,$$

решая это уравнение относительно $C$, получим:

$$C = -4 - 10 - 7 = -21.$$

Теперь мы можем записать первообразную:

$$F(x) = 5x + 7 - 21 = 5x - 14.$$

3. Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = 1$, $x = 3$, осью $x$ и графиком функции $y = x^2$, нужно взять интеграл от $x^2$ на отрезке $[1, 3]$ и вычесть интеграл от 0 до 1, чтобы учесть площадь под кривой до точки $x = 1$. Формально:

$$\text{Площадь} = \int_{1}^{3} x^2 \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx.$$

Вычислим эти интегралы:

$$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{1}^{3} = \frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{3}(1^3) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3},$$

$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1^3) - \frac{1}{3}(0^3) = \frac{1}{3}.$$

Теперь вычтем второй интеграл из первого:

$$\text{Площадь} = \frac{26}{3} - \frac{1}{3} = \frac{25}{3}.$$

Итак, площадь криволинейной трапеции равна $\frac{25}{3}$.