Question

Интегралы , помогите пожалуйста Найдите первообразную функции f(x) = 4x3 - 3x2 – 1, проходящую через точку А(2;-8).

Answer 1

Ответ:

F(x) = x⁴ - x³ - x - 14

Объяснение:

Дана функция f(x) = 4·x³ - 3·x² – 1.

Применим формулу из таблицы первообразных

∫(n·xⁿ⁻¹)dx = xⁿ + C.

Находим первообразную от функции

F(x) = ∫(4·x³ - 3·x² – 1)dx =∫(4·x³)dx - ∫3·x²dx – ∫1dx = x⁴ - x³ - x + C.

Находим первообразную от функции проходящую через точку А(2;-8):

F(2) = -8 ⇔ 2⁴ - 2³ - 2 + C = -8 ⇒ C = -8 - 16 + 8 + 2 = -14.

Answer 2

$f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 1\quad \quad A\,(2;\, -8)\\\\\\F(x)=\displaystyle \int\limits {f(x)} \, dx = \displaystyle \int(4x^3-3x^2-1)\, dx=\\\\\\=\displaystyle \int4x^3\, dx-\displaystyle \int3x^2\, dx-\displaystyle \int dx=\\\\\\=\frac{4x^{3+1}}{3+1} -\frac{3x^{2+1}}{2+1} -x+C=x^4-x^3-x+C$

Используем условие, что функция первообразной проходит через точку А (2; -8). Вместо "х" подставим "2", вместо "F(x)" - "-8".

$F(x)=x^4-x^3-x+C\\\\-8=2^4-2^3-2+C\\\\-8=16-8-2+C\\\\C=-14$

Окончательно получим:

$F(x)=x^4-x^3-x-14$

Answer 3

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 1$, которая проходит через точку $A(2;-8)$, мы будем интегрировать $f(x)$ и использовать начальное условие, чтобы определить константу интегрирования.

Интегрирование $f(x)$ дает нам:

$\int f(x) \, dx = \int (4x^3 - 3x^2 - 1) \, dx$

Интегрируя каждый член по отдельности:

$\int 4x^3 \, dx - \int 3x^2 \, dx - \int 1 \, dx$

Теперь найдем первообразные для каждого из членов:

Для $4x^3$, интеграл равен:

$\int 4x^3 \, dx = x^4 + C_1$

Для $-3x^2$, интеграл равен:

$\int -3x^2 \, dx = -x^3 + C_2$

Для константы -1:

$\int -1 \, dx = -x + C_3$

Теперь объединим все члены и обозначим константу интегрирования как $C$:

$x^4 - x^3 - x + C$

Теперь у нас есть первообразная $F(x)$. Теперь мы можем использовать начальное условие $F(2) = -8$ (точка $A(2;-8)$) для нахождения константы $C$:

$F(2) = 2^4 - 2^3 - 2 + C = 16 - 8 - 2 + C = 6 + C = -8$

Теперь решим уравнение относительно $C$:

$6 + C = -8$

Вычитаем 6 из обеих сторон:

$C = -8 - 6 = -14$

Таким образом, константа интегрирования $C$ равна -14.

Итак, первообразная функции $f(x)$, проходящая через точку $A(2;-8)$, равна:

$F(x) = x^4 - x^3 - x - 14$

Это и есть ответ на ваш вопрос.