Question

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+x-6 и осью 0х​

Answer 1

$y=x^2+x-6\ \ ,\ \ y=0\\\\x^2+x-6=0\ \ ,\ \ x_1=-3\ ,\ \ x_2=2\\\\S=-\int\limits^2_{-3}\, (x^2+x-6)\, dx=\Big(-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+6x\Big)\Big|_{-3}^2=\\\\\\=-\dfrac{8}{3}-2+12-\Big(\dfrac{27}{3}-\dfrac{9}{2}-18\Big)=-\dfrac{35}{3}+32,5=\dfrac{122}{6}=20\dfrac{1}{3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $x$, нам нужно найти точки пересечения параболы с осью $x$ и затем использовать метод интегрирования для вычисления площади под кривой.

1. Найти точки пересечения с осью $x$:

Уравнение параболы $y = x^2 + x - 6$ пересекает ось $x$ когда $y = 0$, то есть:

$x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение или через факторизацию. В данном случае, у нас есть возможность разложить его в следующий вид:

$(x - 2)(x + 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x = 2$ и $x = -3$.

2. Найти площадь под кривой:

Площадь фигуры ограничена кривой $y = x^2 + x - 6$ и осью $x$ между $x = -3$ и $x = 2$. Чтобы найти эту площадь, мы можем использовать интеграл:

$A = \int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) \, dx$

Вычислим этот интеграл:

$A = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{-3}^{2}$

$A = \left[ \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6(2) \right] - \left[ \frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6(-3) \right]$

$A = \frac{8}{3} + 2 - 12 - \left( -\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18 \right)$

$A = \frac{2}{3} - 10 - \frac{3}{2} - 18$

$A = -\frac{69}{6} = -\frac{23}{2}$

Так как площадь не может быть отрицательной, это может означать, что в процессе решения мы сделали какую-то ошибку. Проверьте предыдущие шаги, чтобы найти, где могла быть допущена ошибка.