Question

2. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 30, а сумма следующих четырех членов равна 480. Найти первый член прогрессии?

Answer 1

Ответ:

b₁=2

Объяснение:

b₁+b₂+b₃+b₄=30           b₅+b₆+b₇+b₈=480

b₁+b₁q+b₁q²+b₁q³=30    b₁q⁴+b₁q⁵+b₁q⁶+b₁q⁷=480

                                       q⁴(b₁+b₁q+b₁q²+b₁q³)=480

                                        q⁴·30=480

                                         q⁴=480÷30     q⁴=16     q⁴=2⁴    q=2

b₁(1+q+q²+q³)=30

b₁(1+2+2²+2³)=30

b₁·15=30    b₁=30÷15     b₁=2

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как $a$, а знаменатель прогрессии как $r$. Таким образом, первый член прогрессии равен $a$, второй член равен $ar$, третий член равен $ar^2$, и четвертый член равен $ar^3$.

Из условия известно, что сумма первых четырех членов прогрессии равна 30, поэтому у нас есть уравнение: $a + ar + ar^2 + ar^3 = 30$ (1)

Также известно, что сумма следующих четырех членов прогрессии равна 480, поэтому у нас есть ещё одно уравнение: $ar^4 + ar^5 + ar^6 + ar^7 = 480$ (2)

Мы можем разделить уравнение (2) на $r^4$, чтобы убрать $r$ из уравнения: $a + ar + ar^2 + ar^3 = 480 / r^4$ (3)

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (3), которую мы можем решить. Сначала разделим уравнение (3) на (1):

$\frac{a + ar + ar^2 + ar^3}{a + ar + ar^2 + ar^3} = \frac{480 / r^4}{30}$

Упрощаем:

$1 = \frac{480}{30r^4}$ $r^4 = \frac{480}{30} = 16$

Теперь возьмем четвертый корень из 16:

$r = \sqrt[4]{16} = 2$

Теперь, когда у нас есть $r$, мы можем найти первый член $a$ из уравнения (1):

$a + 2a + 4a + 8a = 30$ $15a = 30$ $a = \frac{30}{15} = 2$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 2.