Question

Для линейной функции f(x) выполняется равенство f(1)+f(x-3)=7x-2. Найдите функцию f(x).

Answer 1

Ответ:

$f(x)=7x+6$

Объяснение:

В общем виде функцию f можно записать как $f(x)=kx+b$. Подставляем в равенство:

$f(1)+f(x-3)=7x-2\\(k\cdot1+b)+(k\cdot(x-3)+b)=7x-2\\kx+(k+b-3k+b)=7x-2\\kx+(2b-2k)=7x-2$

Равенство выполнено для любых x, значит, коэффициенты при x и свободные члены совпадают.

$\left\{\begin{array}{l}k=7\\2b-2k=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}k=7\\b=6\end{array}\right.$

На всякий случай проверяем. $f(1)=7\cdot1+6=13$, $f(x-3)=7(x-3)+6=7x-15$,

$f(1)+f(x-3)=13+7x-15=7x-2$

Answer 2

Чтобы найти функцию f(x), мы можем использовать данное уравнение и решить его. Уравнение гласит:

f(1) + f(x - 3) = 7x - 2

Мы видим, что у нас есть два различных аргумента x и (x - 3), поэтому мы должны найти способ объединить их. Для этого давайте воспользуемся заменой. Давайте заменим (x - 3) на t. Тогда x = t + 3.

Теперь уравнение примет следующий вид:

f(1) + f(t) = 7(t + 3) - 2

Теперь мы можем рассмотреть это как уравнение с одной переменной t. Мы можем найти f(t) и затем заменить t обратно на (x - 3), чтобы получить f(x).

7(t + 3) - 2 = 7t + 21 - 2 = 7t + 19

Таким образом, у нас есть:

f(1) + f(t) = 7t + 19

Теперь найдем f(t) путем вычитания f(1) с обеих сторон:

f(t) = 7t + 19 - f(1)

Теперь мы должны найти значение f(1). Для этого давайте подставим x = 1 в исходное уравнение:

f(1) + f(1 - 3) = 7(1) - 2 f(1) + f(-2) = 7 - 2 f(1) + f(-2) = 5

Теперь мы знаем значение f(1):

f(1) = 5

Теперь мы можем найти значение f(t):

f(t) = 7t + 19 - 5 f(t) = 7t + 14

Теперь мы можем вернуться к исходному выражению с x:

f(x) = 7(x - 3) + 14 f(x) = 7x - 21 + 14 f(x) = 7x - 7

Итак, функция f(x) равна:

f(x) = 7x - 7