Question

При каких целых значениях u значение выражения (u-2)²:u² будет ровно целому числу

Answer 1

Итак, есть выражение

$\displaystyle \frac{(u-2)^2}{u^2}=\frac{u^2-4u+4}{u^2}=\frac{u^2}{u^2}-\frac{-4u+4}{u^2}=1-\frac{-4(u-1)}{u^2}=1+\frac{4(u-1)}{u^2}$

Единица - число целое, его и не рассматриваем, главное, чтобы дробь принимала целые значения. Как этого добиться?

Можно по-разному сгруппировать множители, есть два варианта, рассмотрим каждый из них и в конце объединим полученные значения

1) рассмотрим случай, когда

$\displaystyle \frac{4(u-1)}{u^2}=\frac{4}{u}\cdot \frac{u-1}{u}$

В этом случае 4 делится на $u$, такие значения легко подбираются, самое главное найти те

пусть $u-1$ делится на $u$, тогда частное от деления некоторое число $k$

$\displaystyle \frac{u-1}{u}=k, \ k\in \mathbb{Z}$

Немного преобразуем, умножив на $u$ (оно не равно 0 ещё по условию)

$u-1=ku \Rightarrow u(1-k)=1$

Нужно решить полученное уравнение в целых числах. В данном случае все просто: произведение целых чисел равно единице либо когда каждое из чисел равно 1, либо -1.

То есть 1 вариант, когда $u=1; 1-k=1 \Rightarrow u=1; k=0$

либо 2 вариант, когда $u=-1; 1-k=-1 \Rightarrow u=-1; k=2$

Самое главное, что 4 делится на оба полученных значения $u=\pm1$, то есть они точно пойдут в ответ.

Теперь рассматриваем случай 2):

считаем, что $u-1$ не делится на $u$ нацело (когда делится, мы уже такие случаи нашли), и тогда остается только вариант такой:

$\displaystyle \frac{4(u-1)}{u^2} = \frac{4}{u^2}\cdot(u-1)$

Понятно, что при целых $u$ правый сомножитель всегда будет целым, значит, нужно добиться, чтобы левый тоже был целым.

Если совсем просто, то заменим $t=u^2$, и имеем тогда выражение

$\displaystyle \frac{4}{t}$, которое должно быть целым, отсюда следует, что $t$ является делителем числа 4, а их немного на самом деле. $t=\pm 1; t=\pm2; t=\pm4$

Правда, вспоминаем, что

$t=u^2 \Rightarrow u^2=\pm1; u^2=\pm2; u^2=\pm4; u^2 \geq 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow u^2=1; u^2=2; u^2=4 \Rightarrow u=\pm1; u=\pm \sqrt{2}; u=\pm2$

Нам нужны целые числа, поэтому значения с корнями откидываются, а ещё вспоминаем, что общий ответ получается путем объединения случаев 1 и 2, но нам повезло, оба значения из случая 1 вошли в значения случая 2.

Вообще есть ещё случай группировки 3:

$\displaystyle \frac{4(u-1)}{u^2}=4\cdot \frac{u-1}{u^2}$

Но тут сразу видно, что при целых $u$ делимость нацело правого множителя невозможна при $|u|>1$ (парабола растет быстрее прямой), а  

$u=\pm 1$ (которые, к слову, сюда тоже подходят) мы уже рассмотрели.  

Ответ: $\boxed{\pm 1; \pm 2}$

Answer 2

Для того чтобы значение выражения $\frac{(u-2)^2}{u^2}$ было целым числом, числитель и знаменатель должны иметь общие делители, так как иначе результат будет дробным числом.

Исследуем это условие:

$\frac{(u-2)^2}{u^2}$

Разложим числитель:

$(u-2)^2 = u^2 - 4u + 4$

Теперь мы можем записать выражение в виде:

$\frac{u^2 - 4u + 4}{u^2}$

Для того чтобы это выражение было целым числом, $u^2$ должно делить $u^2 - 4u + 4$ без остатка. Это означает, что разность $u^2 - (u^2 - 4u + 4)$ должна быть равна нулю.

$u^2 - (u^2 - 4u + 4) = 4u - 4 = 4(u - 1)$

Таким образом, чтобы значение выражения было целым числом, $u - 1$ должно быть делителем числа 4. Это возможно при следующих целых значениях $u$:

1. $u = 1$ (в этом случае выражение будет равно 4).
2. $u = 2$ (в этом случае выражение также будет равно 4).
3. $u = 3$ (в этом случае выражение будет равно 4).
4. $u = 5$ (в этом случае выражение будет равно 4).

И так далее, при любых целых значениях $u$, равных 1, 2, 3, 5, и так далее, значение выражения будет целым числом.