Question

(п + 1)(п + 2) – (3 п – 1)(п + 3) + 5п(п + 2) + п +7 Докажем, что при любом натуральном значении п значение выражения кратно 3​

Answer 1

$(n+1)(n+2)-(3n-1)(n+3)+5n(n+2)+n+7=$

$=n^2+3n+2-(3n^2+2n-3)+5n^2+10n+n+7=$

$= n^2+3n+2-3n^2-2n+3+5n^2+10n+n+7=$

$=3n^2+12n+12=$

$=3*(n^2+4n+4)$

Конечное выражение  $3*(n^2+4n+4)$ содержит множитель, кратный 3, это и означает, что данное  выражение кратно 3​.

Доказано.

Answer 2

Чтобы доказать, что данное выражение кратно 3 при любом натуральном значении $p$, мы можем просто рассмотреть его и провести алгебраические преобразования, чтобы увидеть, что каждый член кратен 3. Давайте это сделаем:

$$\begin{align*} & (p + 1)(p + 2) - (3p - 1)(p + 3) + 5p(p + 2) + p + 7 \\ & = (p^2 + 2p + p + 2) - (3p^2 + 9p - p - 3) + (5p^2 + 10p + p) + (p + 7) \\ & = (p^2 + 3p + 2) - (3p^2 + 9p - p - 3) + (5p^2 + 10p + p) + (p + 7) \\ & = p^2 + 3p + 2 - 3p^2 - 9p + p + 3 + 5p^2 + 10p + p + 7 \\ & = p^2 - 3p^2 + 5p^2 + 3p - 9p + p + 10p + p + 2 + 3 + 7 \\ & = (p^2 + 5p^2 + 10p) + (3p - 9p + p + 2 + 3 + 7) \\ & = 6p^2 + 3p - 3p + 12 \\ & = 6p^2 + 12 \end{align*}$$

Теперь давайте заметим, что 6p^2 делится на 3 без остатка, так как 6 делится на 3, и $p^2$ - это натуральное число, и, следовательно, остаток - это 0. Также, константа 12 делится на 3 без остатка. Таким образом, вся сумма $6p^2 + 12$ делится на 3 без остатка.

Поэтому мы доказали, что данное выражение кратно 3 при любом натуральном значении $p$.