Question

Розв'яжіть квадратну нерівність 1) 3x²+11x-4≦02) -5x²-3x+2>03) -11x²+12x-1≧0​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

3x²+11x-4≤0

3x²+11x-4=0

x²+11x/3 - 4/3=0

по теореме виета:

x1 = 1/3

x2 = -4

x∈ [-4 ; 1/3 ]

-5x²-3x+2>0

5x²+3x-2<0

5x²+3x-2=0

x²+3x/5 - 2/5 = 0

по теореме виета:

x1 = 2/5

x2 = -1

x∈ (-1 ; 2/5 )

-11x²+12x-1 ≥ 0​

11x²-12x+1≤0

11x²-12x+1=0

x²-12x/11+1/11=0

по теореме виета:

x1 = 1

x2 = 1/11

x∈ [1/11 ; 1]

Answer 2

Давайте розв'яжемо кожну з квадратних нерівностей окремо:

1. 3x² + 11x - 4 ≤ 0:

Спочатку знайдемо корені квадратного рівняння 3x² + 11x - 4 = 0, використовуючи квадратну формулу:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

де a = 3, b = 11 і c = -4.

x₁ = (-11 + √(11² - 4 * 3 * (-4))) / (2 * 3) ≈ (-11 + √(121 + 48)) / 6 ≈ (-11 + √169) / 6 ≈ (-11 + 13) / 6 ≈ 2/6 = 1/3

x₂ = (-11 - √(11² - 4 * 3 * (-4))) / (2 * 3) ≈ (-11 - √(121 + 48)) / 6 ≈ (-11 - √169) / 6 ≈ (-11 - 13) / 6 ≈ -24/6 = -4

Тепер ми маємо два корені: x₁ = 1/3 і x₂ = -4. Подивимося на знаки виразу 3x² + 11x - 4 на інтервалах між цими коренями:

-∞───────(-4)───────(1/3)───────∞ - 0 +

Знак "+" вказує на те, що вираз 3x² + 11x - 4 дорівнює нулю або позитивний на інтервалах (-∞, -4) та (1/3, ∞). Тепер, щоб розв'язати нерівність, ми можемо взяти будь-яку точку в цих інтервалах і перевірити, чи є вона меншою або рівною нулю. Наприклад, x = 0:

3(0)² + 11(0) - 4 = 0 - 0 - 4 = -4

-4 ≤ 0

Отже, розв'язком нерівності є інтервал:

x ∈ (-∞, -4] ∪ [1/3, ∞)

2. -5x² - 3x + 2 > 0:

Спочатку знайдемо корені квадратного рівняння -5x² - 3x + 2 = 0, використовуючи квадратну формулу:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

де a = -5, b = -3 і c = 2.

x₁ = (-(-3) + √((-3)² - 4 * (-5) * 2)) / (2 * (-5)) ≈ (3 + √(9 + 40)) / (-10) ≈ (3 + √49) / (-10) ≈ (3 + 7) / (-10) ≈ 10/(-10) = -1

x₂ = (-(-3) - √((-3)² - 4 * (-5) * 2)) / (2 * (-5)) ≈ (3 - √(9 + 40)) / (-10) ≈ (3 - √49) / (-10) ≈ (3 - 7) / (-10) ≈ -4/(-10) = 2/5

Тепер ми маємо два корені: x₁ = -1 і x₂ = 2/5. Подивимося на знаки виразу -5x² - 3x + 2 на інтервалах між цими коренями:

-∞───────(-1)───────(2/5)───────∞ - 0 +

Знак "+" вказує на те, що вираз -5x² - 3x + 2 дорівнює нулю або позитивний на інтервалах (-∞, -1) та (2/5, ∞). Тепер, щоб розв'язати нерівність, ми можемо взяти будь-яку точку в цих інтервалах і перевірити, чи є вона більшою за нуль. Наприклад, x = 0:

-5(0)² - 3(0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2

2 > 0

Отже, розв'язком нерівності є інтервал:

x ∈ (-∞, -1) ∪ (2/5, ∞)

3. -11x² + 12x - 1 ≥ 0:

Давайте розв'яжемо цю нерівність за допомогою методу діскримінанту. Спочатку знайдемо дискримінант:

D = b² - 4ac

де a = -11, b = 12 і c = -1.

D = (12)² - 4 * (-11) * (-1) = 144 - 44 = 100

Дискримінант D дорівнює 100, що є позитивним числом.

Так як дискримінант позитивний, то маємо два дійсних корені квадратного рівняння -11x² + 12x - 1 = 0.

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-12 + √100) / (-22) = (-12 + 10) / (-22) = (-2) / (-22) = 1/11

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-12 - √100) / (-22) = (-12 - 10) / (-22) = (-22) / (-22) = 1

Отже, ми маємо два корені: x₁ = 1/11 і x₂ = 1. Подивимося на знаки виразу -11x² + 12x - 1 на інтервалах між цими коренями:

-∞───────(1/11)───────(1)───────∞ + 0 +

Знак "+" вказує на те, що вираз -11x² + 12x - 1 дорівнює нулю або позитивний на інтервалах (-∞, 1/11) та (1, ∞). Тепер, щоб розв'язати нерівність, ми можемо взяти будь-яку точку в цих інтервалах і перевірити, чи є вона більшою або рівною нулю. Наприклад, x = 0:

-11(0)² + 12(0) - 1 = 0 - 0 - 1 = -1

-1 ≥ 0

Отже, розв'язком нерівності є інтервал:

x ∈ (-∞, 1/11] ∪ [1, ∞)