Question

Знайдіть значення виразу: ctg π/2+3cos π/2-4sin 3π/2; sin⁡(-420°). Визначте знак виразу: sin216°tg(-232°). Парною чи непарною є функція, задана формулою: f(x)=x-sinx. Чи існує таке α,якщо:tgα=5 i ctgα=0,2 Побудуйте графік функції: y=cos⁡(x+π/3). Спростіть вираз: ; Доведіть тотожність: (tg α + сtg α)2 - (tg α - сtg α)2 = 4.

Answer 1

Sin -420, sin 216tg(-232)

Answer 2

1. Знайдіть значення виразу: $\cot\left(\frac{\pi}{2}+3\cos\frac{\pi}{2}-4\sin\frac{3\pi}{2}\right) \cdot \sin(-420^\circ).$

   Спочатку розглянемо значення в кожній окремій частині виразу:

   • $\cot\left(\frac{\pi}{2}+3\cos\frac{\pi}{2}-4\sin\frac{3\pi}{2}\right)$: Оскільки $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$, то $\cot\left(\frac{\pi}{2}+3\cos\frac{\pi}{2}-4\sin\frac{3\pi}{2}\right) = \tan\left(3\cos\frac{\pi}{2}-4\sin\frac{3\pi}{2}\right)$.
   • $\sin(-420^\circ)$: Оскільки синус є періодичною функцією і $\sin(-420^\circ) = \sin(-60^\circ)$, то $\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

   Таким чином, значення виразу дорівнює $-\tan\left(3\cos\frac{\pi}{2}-4\sin\frac{3\pi}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Визначте знак виразу: $\sin(216^\circ)\tan(-232^\circ).$

   Значення $\sin(216^\circ)$ відомо з тригонометричних властивостей (синус кута більше $180^\circ$ дорівнює синусу відповідного додаткового кута) і $\tan(-232^\circ)$ відомо з тригонометричних властивостей (тангенс негативного кута дорівнює тангенсу відповідного позитивного кута). Таким чином, знак виразу буде визначено знаком добутку відомих синусів і тангенсу.

3. Функція $f(x) = x - \sin x$ є непарною, оскільки для будь-якого $x$ виконується $f(-x) = -x + \sin x = -(x - \sin x) = -f(x)$.

4. Щоб знайти значення кута $\alpha$, для якого $\tan\alpha = 5$ і $\cot\alpha = 0.2$, використовуємо тригонометричні властивості: $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}.$

   Таким чином, $\cot\alpha = 0.2$ означає, що $\frac{1}{\tan\alpha} = 0.2$. Розв'язавши це рівняння, отримаємо $\tan\alpha = \frac{1}{0.2} = 5$. Таким чином, значення $\alpha$ відповідає заданим умовам.

5. Побудуйте графік функції $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$. Для побудови графіка можна використовувати програми для візуалізації математичних функцій або калькулятори з можливістю побудови графіків.

6. Спростіть вираз: $\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos\theta + \sin\theta}.$

   Використовуючи тригонометричні тотожності (наприклад, $\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos(2\theta)$), можна спростити вираз. Це може виглядати так: $\frac{\cos(2\theta)}{\cos\theta + \sin\theta}.$