Question

Упрости выражение. sin⁡x(sin⁡x + sin⁡y) + cos⁡x(cos⁡x + cos⁡y)

Answer 1

sin⁡x(sin⁡x + sin⁡y) + cos⁡x(cos⁡x + cos⁡y)=sin²⁡x+sin⁡x* sin⁡y+ cos⁡²x+cos⁡x*cos⁡y=

(sin²⁡x+cos⁡²x)+(sin⁡x* sin⁡y +cos⁡x*cos⁡y)=1+cos(х-⁡y)=2cos²((х-у)/2)

Answer 2

Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся формулами для произведения синусов и косинусов:

1. sin(x)sin(x) = sin^2(x)
2. cos(x)cos(x) = cos^2(x)

Теперь выразим sin^2(x) и cos^2(x) в виде выражений, использующих сумму и разность тригонометрических функций:

1. sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2
2. cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2

Теперь заменим sin^2(x) и cos^2(x) в исходном выражении:

sin(x)(sin(x) + sin(y)) + cos(x)(cos(x) + cos(y)) = (sin(x)(1 - cos(2x))/2 + cos(x)(1 + cos(2x))/2) + (sin(y)sin(x) + cos(y)cos(x))

Далее можно разложить сложение и упростить выражение:

(sin(x) - sin(x)cos(2x)/2 + cos(x) + cos(x)cos(2x)/2) + (sin(y)sin(x) + cos(y)cos(x))

Теперь сложим подобные члены:

2cos(x) + sin(x)(1 - cos(2x))/2 + sin(y)sin(x) + cos(y)cos(x)

Упрощенное выражение:

2cos(x) + (sin(x) - sin(x)cos(2x)/2 + sin(y)sin(x) + cos(y)cos(x))/2

Это упрощенное выражение для исходного.