Question

Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство a) (a-7)²>a(a-14)б) а²+1≥2(3а-4)​

Answer 1

Ответ:

а) 49 всегда больше 0

$(a-7)^2>a(a-14)\\a^2-14a+49>a^2-14a\\49>0$

б) любое выражение в четной степени всегда неотрицательно

$a^2+1\geq 2(3a-4)\\a^2+1\geq 6a-8\\a^2-6a+9\geq 0\\(a-3)^2\geq 0$

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим оба неравенства по очереди и докажем их.

a) (a - 7)² > a(a - 14)

Для начала раскроем квадрат слева:

(a - 7)² = a² - 14a + 49

Теперь сравним полученное выражение с a(a - 14):

a² - 14a + 49 > a(a - 14)

Теперь выразим правую часть неравенства:

a(a - 14) = a² - 14a

Теперь мы имеем:

a² - 14a + 49 > a² - 14a

Заметьте, что левая сторона неравенства (a² - 14a + 49) больше, чем правая сторона (a² - 14a), так как 49 больше нуля. Следовательно, данное неравенство верно при любом значении переменной "a".

b) a² + 1 ≥ 2(3a - 4)

Раскроем умножение справа:

2(3a - 4) = 6a - 8

Теперь у нас есть:

a² + 1 ≥ 6a - 8

Выразим правую часть неравенства:

6a - 8 = 6a - 8

Теперь мы имеем:

a² + 1 ≥ 6a - 8

Прибавим 8 к обеим сторонам неравенства:

a² + 1 + 8 ≥ 6a - 8 + 8

a² + 9 ≥ 6a

Вычтем 6a из обеих сторон:

a² - 6a + 9 ≥ 0

Теперь это квадратное уравнение вида a² - 6a + 9 = 0. Мы видим, что оно имеет единственный корень a = 3, и этот корень является корнем уравнения a² - 6a + 9 ≥ 0.

Таким образом, неравенство a² + 1 ≥ 2(3a - 4) верно при любом значении переменной "a", так как оно выполняется для всех значений "a".