Question

Дам 45 баллов ! Докажите, что результат выражения 2 в 12 степени + 5 в 3 степени делится нацело на 3 ! Буду очень благодарна ! ^^

Answer 1

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

(a^m)^n = a^(m*n)

2^12 + 5^3 = (2^4)^3 + 5^3 = 16^3 + 5^3 = (16 + 5)(16² - 16*5 + 5²) = 21*(16² - 16*5 + 5²) =3*7*(16² - 16*5 + 5²)

если в произведении один из множителей делится на 3, то и все произведение делится на 3

Answer 2

Для доказательства, что результат выражения $2^{12} + 5^3$ делится нацело на 3, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если $p$ - простое число, а $a$ не делится на $p$, то:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.$

В данном случае, $p = 3$, и мы хотим доказать, что $2^{12} + 5^3$ делится нацело на 3. Для этого давайте проверим, что каждое из чисел $2^{12}$ и $5^3$ удовлетворяет малой теореме Ферма для $p = 3$.

1. $2^{12}$: По теореме Ферма: $2^{3-1} \equiv 1 \pmod{3},$ $2^{12} \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{3}.$

2. $5^3$: По теореме Ферма: $5^{3-1} \equiv 1 \pmod{3},$ $5^3 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}.$

Теперь, мы знаем, что и $2^{12}$, и $5^3$ дают остаток 1 при делении на 3. Теперь мы можем рассмотреть выражение $2^{12} + 5^3$:

$2^{12} + 5^3 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}.$

Таким образом, результат выражения $2^{12} + 5^3$ не делится нацело на 3, так как его остаток при делении на 3 равен 2, а не 0. Исходное утверждение не верно, и результат не делится нацело на 3.