Question

1. Найти общее решение дифференциального уравнения y'=4/3x^3+8.2. Сделать проверку3. Найти частное решение (задачи Коши) : y'=1-7x+4x^5, x(0)=1, y(0)=1​​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ y'=\dfrac{4}{3}\, x^3+8\\\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{3}\, x^3+8\ \ ,\ \ \ \int dy=\int \Big(\dfrac{4}{3}\, x^3+8\Big)\, dx\ \ ,\\\\\\y=\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{x^4}{4}+8x+C\\\\\\Proverka:\ \ y'=\Big(\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{x^4}{4}+8x+C\Big)'=\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{4x^3}{4}+8+0=\dfrac{4}{3}\cdot x^3+8$

$2)\ \ y'=1-7x+4x^5\ \ ,\ \ y(0)=1\\\\\\\dfrac{dy}{dx}=1-7x+4x^5\ \ \ ,\ \ \ \int dy=(1-7x+4x^5)\, dx\ \ ,\\\\\\y=x-\dfrac{7x^2}{2}+\dfrac{4x^6}{6}+C\ \ ,\ \ \ y_{obshee}=x-\dfrac{7}{2}\, x^2+\dfrac{2}{3}\, x^6+C\\\\\\y(0)=1\ \ ,\ \ y(0)=0-\dfrac{7}{2}\cdot 0+\dfrac{2}{3}\cdot 0+C\ \ ,\ \ C=1\ \ ,\\\\\\y_{chastnoe}=x-\dfrac{7}{2}\, x^2+\dfrac{2}{3}\, x^6+1$

Answer 2

1. Для поиска общего решения дифференциального уравнения y' = 4/3x^3 + 8.2, мы сначала найдем его частное решение, а затем добавим произвольную константу, чтобы получить общее решение.

Сначала найдем частное решение уравнения. Для этого интегрируем правую часть уравнения по x:

∫(4/3x^3 + 8.2) dx = (4/3) * (1/4)x^4 + 8.2x + C₁ = (1/3)x^4 + 8.2x + C₁.

Теперь у нас есть частное решение:

y₁(x) = (1/3)x^4 + 8.2x + C₁.

Чтобы найти общее решение, добавим произвольную константу C:

y(x) = (1/3)x^4 + 8.2x + C.

2. Теперь перейдем ко второй части задачи, где нужно найти частное решение задачи Коши для уравнения y' = 1 - 7x + 4x^5 с начальными условиями x(0) = 1 и y(0) = 1.

Интегрируем правую часть уравнения по x:

∫(1 - 7x + 4x^5) dx = x - (7/2)x^2 + (4/6)x^6 + C₂ = x - (7/2)x^2 + (2/3)x^6 + C₂.

Используя начальные условия, мы можем найти константы C₂:

x(0) = 1, y(0) = 1: 1 - (7/2) * 0^2 + (2/3) * 0^6 + C₂ = 1, C₂ = 1.

Теперь у нас есть частное решение с учетом начальных условий:

y₂(x) = x - (7/2)x^2 + (2/3)x^6 + 1.

Итак, частное решение задачи Коши:

y(x) = x - (7/2)x^2 + (2/3)x^6 + 1.