Question

В упражнениях 5.67-5.81 решите неравенства. 5.67. 1) (x - 1)(x + 1) <0;2) х(7 - x) > 0;3) x*(x-1)(х + 2) > 0;4) х (3 - x)(х + 1) <0;5) - x² + 5x + 6 >0;6) 3x2 - 7x + 2 < 0.​

Answer 1

Ответ:

1)х є{-1,1}

2)х є(0,7)

3)х є(-2,0)u(1,+знак безконечності)

4)х є(-1,0)u(3,+знак безконечності)

5)х є(-1,6)

6)х є (2,+8)

Answer 2

Для решения неравенств, сначала найдем корни уравнений, соответствующих данным неравенствам, а затем определим интервалы, на которых выполняется условие неравенства. Начнем с каждого уравнения:

1. (x - 1)(x + 1) < 0

Первым шагом найдем корни этого уравнения:

x - 1 = 0 => x = 1 x + 1 = 0 => x = -1

Теперь определим интервалы, на которых выполняется неравенство. Для этого используем метод интервалов:

-∞ < x < -1: В данном интервале (x - 1) и (x + 1) оба отрицательны, произведение положительно. -1 < x < 1: В этом интервале (x - 1) отрицательно, но (x + 1) положительно, произведение отрицательно. 1 < x < ∞: В этом интервале оба множителя (x - 1) и (x + 1) положительны, произведение положительно.

Итак, решение неравенства (x - 1)(x + 1) < 0: -1 < x < 1.

2. x(7 - x) > 0

Первым шагом найдем корни этого уравнения:

7 - x = 0 => x = 7

Теперь определим интервалы:

-∞ < x < 0: Оба множителя положительны, произведение положительно. 0 < x < 7: Множитель x положителен, но (7 - x) отрицателен, произведение отрицательно. 7 < x < ∞: Оба множителя положительны, произведение положительно.

Итак, решение неравенства x(7 - x) > 0: 0 < x < 7.

3. x(x - 1)(x + 2) > 0

Найдем корни:

x = 0 x - 1 = 0 => x = 1 x + 2 = 0 => x = -2

Определим интервалы:

-∞ < x < -2: В данном интервале все три множителя отрицательны, произведение отрицательно. -2 < x < 0: Множитель (x + 2) положителен, но (x - 1) и x отрицательны, произведение отрицательно. 0 < x < 1: В этом интервале множители (x - 1) и x положительны, но (x + 2) отрицателен, произведение отрицательно. 1 < x < ∞: В данном интервале все три множителя положительны, произведение положительно.

Итак, решение неравенства x(x - 1)(x + 2) > 0: x < -2 или 0 < x < 1.

4. x(3 - x)(x + 1) < 0

Найдем корни:

3 - x = 0 => x = 3

Определим интервалы:

-∞ < x < -1: В данном интервале все три множителя отрицательны, произведение отрицательно. -1 < x < 3: Множитель (x + 1) положителен, но (3 - x) отрицателен, произведение отрицательно. 3 < x < ∞: В этом интервале все три множителя положительны, произведение положительно.

Итак, решение неравенства x(3 - x)(x + 1) < 0: -1 < x < 3.

5. -x^2 + 5x + 6 > 0

Перейдем к квадратному уравнению:

-x^2 + 5x + 6 = 0

Для нахождения корней этого уравнения используем квадратное уравнение:

x^2 - 5x - 6 = 0

(x - 6)(x + 1) = 0

Теперь определим интервалы:

-∞ < x < -1: Оба множителя положительны, произведение положительно. -1 < x < 6: Множитель (x + 1) отрицателен, но (x - 6) положителен, произведение отрицательно. 6 < x < ∞: Оба множителя положительны, произведение положительно.

Итак, решение неравенства -x^2 + 5x + 6 > 0: -1 < x < 6.

6. 3x^2 - 7x + 2 < 0

Перейдем к квадратному уравнению:

3x^2 - 7x + 2 = 0

Для нахождения корней этого уравнения используем квадратное уравнение:

(3x - 2)(x - 1) = 0

Теперь определим интервалы:

-∞ < x < 1/3: Оба множителя положительны, произведение положительно. 1/3 < x < 2/3: Множитель (3x - 2) положителен, но (x - 1) отрицателен, произведение отрицательно. 2/3 < x < ∞: Оба множителя положительны, произведение положительно.

Итак, решение неравенства 3x^2 - 7x + 2 < 0: 1/3 < x < 2/3.