Question

Вычислить (cos^2b+2)/(cos^2b+sinb *cosb) если tgb=3

Answer 1

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$\dfrac{\cos^2b+2}{\cos^2b+\sin b \cos b} =\dfrac{\cos^2b+2\sin^2b+2\cos^2b}{\cos^2b+\sin b \cos b} =\dfrac{3\cos^2b+2\sin^2b}{\cos^2b+\sin b \cos b}$

Разделим числитель и знаменатель на квадрат косинуса:

$\dfrac{3\cos^2b+2\sin^2b}{\cos^2b+\sin b \cos b}=\dfrac{\dfrac{3\cos^2b}{\cos^2b} +\dfrac{2\sin^2b}{\cos^2b} }{\dfrac{\cos^2b}{\cos^2b} +\dfrac{\sin b \cos b}{\cos^2b} } =\dfrac{3+2\mathrm{tg}^2b}{1+\mathrm{tg}\, b }$

Подставим значение тангенса:

$\dfrac{3+2\mathrm{tg}^2b}{1+\mathrm{tg}\, b }=\dfrac{3+2\cdot3^2}{1+3}=\dfrac{3+18}{4}=\dfrac{21}{4} =5.25$

Ответ: 5.25

Answer 2

Давайте разберёмся с выражением и подставим значение тангенса $\tan(b) = 3$.

У нас дано: $\tan(b) = 3$

Мы знаем, что $\tan(b) = \frac{\sin(b)}{\cos(b)}$, таким образом: $\frac{\sin(b)}{\cos(b)} = 3$

Теперь можем выразить синус и косинус через тангенс: $\sin(b) = 3\cos(b)$

Теперь давайте займёмся исходным выражением: $\frac{\cos^2(b) + 2}{\cos^2(b) + \sin(b)\cos(b)}$

Подставим выражение для $\sin(b)$: $\frac{\cos^2(b) + 2}{\cos^2(b) + 3\cos^2(b)}$

Упростим числитель: $\cos^2(b) + 2$

Упростим знаменатель: $\cos^2(b) + 3\cos^2(b) = 4\cos^2(b)$

Теперь подставим обратно в исходное выражение: $\frac{\cos^2(b) + 2}{\cos^2(b) + 3\cos^2(b)} = \frac{\cos^2(b) + 2}{4\cos^2(b)}$

Теперь подставим $\tan(b) = 3$ и воспользуемся тождеством $\tan^2(b) + 1 = \sec^2(b)$, чтобы выразить $\cos^2(b)$ через $\tan(b)$: $\cos^2(b) = \frac{1}{\tan^2(b) + 1} = \frac{1}{3^2 + 1} = \frac{1}{10}$

Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{\cos^2(b) + 2}{4\cos^2(b)} = \frac{\frac{1}{10} + 2}{4 \times \frac{1}{10}} = \frac{\frac{21}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{21}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{21}{4}$