Question

22.1. Вычислите: 1) sinB, если cosB = 0,5 и 0° < B < 90°;2) cosB, если sinB = 0,5 и 0° < B < 90°;3) sinB, если cosB = -0,5 и 90° < B < 180°;4) cosB, если ѕinB = -0,5 и 180° < B < 270°.​

Answer 1

$1) sin\beta =\sqrt{1-cos^2\beta }=\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2} =\sqrt{1-\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{4-1}{4} } =\sqrt{\frac{3}{4}} =\frac{\sqrt{3} }{2}$

синус в 1 четверти положительный, поэтому знак не меняем

$2)cos\beta =\sqrt{1-sin^2\beta } =\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2 } =\sqrt{1-\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{4-1}{4} } =\sqrt{\frac{3}{4} } =\frac{\sqrt{3}}{2}$

косинус в 1 четверти положительный, поэтому знак не меняем

$3)sin\beta =\sqrt{1-cos^2\beta } =\sqrt{1-(-\frac{1}{2})^2 } =\sqrt{1-\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{4-1}{4} } =\sqrt{\frac{3}{4} } =\frac{\sqrt{3} }{2}$

синус во 2 четверти положительный, поэтому знак не меняем

$4)cos\beta =-(\sqrt{1-sin^2\beta } )=-(\sqrt{1-(-\frac{1}{2})^2 }) =-(\sqrt{1-\frac{1}{4} }) =-\sqrt{\frac{4-1}{4} } =-\sqrt{\frac{3}{4} } =\\=-\frac{\sqrt{3} }{2}$

косинус в 3 четверти отрицательный, поэтому минус перед скобкой

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. Если cos(B) = 0.5 и 0° < B < 90°, то это означает, что B - это угол в первом квадранте (угол между 0° и 90°), и cos(B) положителен. Мы можем использовать тригонометрическую тождественность sin^2(B) + cos^2(B) = 1, чтобы найти sin(B):

sin^2(B) + 0.5^2 = 1

sin^2(B) + 0.25 = 1

sin^2(B) = 1 - 0.25

sin^2(B) = 0.75

sin(B) = ±√0.75

Поскольку B находится в первом квадранте, sin(B) положителен, поэтому sin(B) = √0.75.

2. Если sin(B) = 0.5 и 0° < B < 90°, то это также означает, что B - это угол в первом квадранте, и sin(B) положителен. Здесь sin(B) уже известен и равен 0.5.

3. Если cos(B) = -0.5 и 90° < B < 180°, то это означает, что B - это угол во втором квадранте (угол между 90° и 180°), и cos(B) отрицателен. Мы также можем использовать тригонометрическую тождественность sin^2(B) + cos^2(B) = 1:

sin^2(B) + (-0.5)^2 = 1

sin^2(B) + 0.25 = 1

sin^2(B) = 1 - 0.25

sin^2(B) = 0.75

sin(B) = ±√0.75

Поскольку B находится во втором квадранте, sin(B) положителен, поэтому sin(B) = √0.75.

4. Если sin(B) = -0.5 и 180° < B < 270°, то это означает, что B - это угол в третьем квадранте (угол между 180° и 270°), и sin(B) отрицателен. Здесь sin(B) уже известен и равен -0.5.

Итак, ответы:

1. sin(B) = √0.75
2. sin(B) = 0.5
3. sin(B) = √0.75
4. sin(B) = -0.5