Question

Найдите все значения х, при которых выполняется неравенствоf'(х) > 0, если f(x) =x^2(6-х)​

Answer 1

Ответ:

(0;4)

Объяснение:

f(x)= x²(6-x)=6x²-x³

f `(x)= (6x²-x³)` = 6*2x-3x² = 12x - 3x² = 3x(4-x)

f `(x) >0 при 3x(4-x) >0

                       -                        +                          -

           ___________(0)__________(4)__________

x∈(0;4)

Answer 2

Давайте начнем с нахождения производной функции $f(x) = x^2(6-x)$. Используем правило производной произведения функций:

$f(x) = x^2(6-x)$

$f'(x) = 2x(6-x) + x^2(-1)$

$f'(x) = 12x - x^2$

Теперь нам нужно найти значения $x$, при которых $f'(x) > 0$. Для этого решим неравенство:

$12x - x^2 > 0$

Вынесем общий множитель $x$:

$x(12 - x) > 0$

Теперь найдем критические точки, где $f'(x) = 0$:

$12x - x^2 = 0$

$x(12 - x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x = 0$ и $x = 12$.

Теперь разберемся с интервалами. Возьмем три интервала: $(- \infty, 0)$, $(0, 12)$ и $(12, + \infty)$. Проверим знаки в каждом из этих интервалов:

1. Подставим $x = -1$ (возьмем значение меньше 0): $x(12 - x) = (-1)(12 - (-1)) = -11 < 0$ Знак отрицательный.

2. Подставим $x = 1$ (возьмем значение между 0 и 12): $x(12 - x) = 1(12 - 1) = 11 > 0$ Знак положительный.

3. Подставим $x = 13$ (возьмем значение больше 12): $x(12 - x) = 13(12 - 13) = -13 < 0$ Знак отрицательный.

Итак, неравенство $x(12 - x) > 0$ выполняется на интервалах $(0, 12)$ и $(- \infty, 0) \cup (12, + \infty)$.

Таким образом, решение неравенства $f'(x) > 0$ для данной функции $f(x) = x^2(6-x)$ заключается в следующих интервалах:

$x \in (-\infty, 0) \cup (12, +\infty)$

и

$x \in (0, 12)$