Question

Найдите для функции у=-5/х: 1. Область определения функции. 2. Множество значений функции. 3. Промежутки знакопостоянства функции. 4. Промежутки монотонности функции.

Answer 1

1) (−∞; 0  ( ) + ∞) ;
2) ( ) −∞; ; 0 0  ( ) + ∞) ;
3) y > 0 при x < 0; y < 0 при x > 0;
4) функция возрастает на промежутках ( ) −∞; 0 и ( ) 0;+∞).

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию y = -5/x поочередно:

1. Область определения функции: Область определения (или домен) - это множество всех допустимых значений переменной. В данной функции переменная x не может равняться нулю, так как деление на ноль неопределено. Следовательно, область определения функции - это все действительные числа x, кроме нуля. Это можно записать как:

   D = {x ∈ ℝ : x ≠ 0}

2. Множество значений функции: Множество значений (или область значений) - это множество всех возможных значений функции. В данной функции, при x, близком к нулю, y становится очень большим по модулю, и, при увеличении x, y становится ближе к нулю. Таким образом, множество значений функции - это все действительные числа, кроме нуля:

   R = {y ∈ ℝ : y ≠ 0}

3. Промежутки знакопостоянства функции: Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, мы можем рассмотреть три случая:

   • Когда x > 0: В этом случае y = -5/x всегда будет отрицательным, так как -5 делится на положительное число, и, следовательно, функция отрицательна на всем положительном полуинтервале (0, +∞).
   • Когда x < 0: В этом случае y = -5/x всегда будет положительным, так как -5 делится на отрицательное число, и, следовательно, функция положительна на всем отрицательном полуинтервале (-∞, 0).
   • Когда x = 0: В данной точке функция не определена.

   Таким образом, промежутки знакопостоянства функции:

   • y < 0 при x > 0
   • y > 0 при x < 0

4. Промежутки монотонности функции: Чтобы найти промежутки монотонности функции, рассмотрим производную функции. Для функции y = -5/x производная будет:

   y' = 5/x^2

   Знак производной зависит от знака числителя (5) и знаменателя (x^2). Заметим, что 5 всегда положительно, а x^2 также всегда положительно (квадрат числа всегда неотрицательный). Таким образом, производная всегда положительна.

   Это означает, что функция монотонно убывает на интервале (-∞, 0) и монотонно возрастает на интервале (0, +∞).

Итак, кратко:

1. Область определения: D = {x ∈ ℝ : x ≠ 0}
2. Множество значений: R = {y ∈ ℝ : y ≠ 0}
3. Промежутки знакопостоянства: y < 0 при x > 0, y > 0 при x < 0
4. Промежутки монотонности: Монотонно убывает на (-∞, 0) и монотонно возрастает на (0, +∞).