Question

Найдите значение производной функции у=1/(2x+5)² в точке x=-3

Answer 1

Ответ:

$4$

Объяснение:

$y=\dfrac{1}{(2x+5)^{2}}=(2x+5)^{-2};$

$y'=((2x+5)^{-2})'=-2 \cdot (2x+5)^{-2-1} \cdot (2x+5)'=-2(2x+5)^{-3} \cdot ((2x)'+5')=$

$=-2(2x+5)^{-3} \cdot (2+0)=-4(2x+5)^{-3}=-\dfrac{4}{(2x+5)^{3}};$

$x=-3 \Rightarrow y'(-3)=-\dfrac{4}{(2 \cdot (-3)+5)^{3}}=-\dfrac{4}{(-6+5)^{3}}=-\dfrac{4}{(-1)^{3}}=-\dfrac{4}{-1}=4;$

Answer 2

Давайте найдем значение производной функции $y = \frac{1}{{(2x + 5)^2}}$ в точке $x = -3$.

Сначала найдем производную $y$ по $x$ с использованием правила цепочки:

$u = 2x + 5$ $v = u^2 = (2x + 5)^2$

Теперь найдем производные $u$ и $v$:

$u' = 2$ $v' = 2u \cdot u' = 4(2x + 5)$

Теперь применим правило деления:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(2x + 5) - 1 \cdot 4(2x + 5)}{(2x + 5)^4}$

Теперь подставим $x = -3$:

$y' = \frac{2(2(-3) + 5) - 1 \cdot 4(2(-3) + 5)}{(2(-3) + 5)^4}$

$y' = \frac{-1}{(-1)^4} = -1$

Итак, значение производной функции $y = \frac{1}{{(2x + 5)^2}}$ в точке $x = -3$ равно -1.