Question

5(x^{2} +4x+4)^{2} -4(x+2)^{2} -1=0 Найдите корни, даю 35 баллов

Answer 1

5(х²+4х+4)²-4(х+2)²-1=0

5((х+2)²)²-4(х+2)²-1=0

5(х+2)⁴-4(х+2)²-1=0

Замена (х+2)²=t, тогда (х+2)⁴=t²

5t²-4t-1=0

t=1, t=-0,2

Возвращаюсь к замене:

(х+2)²=-0,2 ∅

(х+2)²=1

х+2=1; х+2=-1

х=-1; х=-3.

Ответ: {-3; -1}.

Answer 2

Ответ:

$\boxed{x_{1} = -1;x_{2} = -3}$

Объяснение:

$5(x^{2} +4x+4)^{2} -4(x+2)^{2} - 1 = 0$

$5((x + 2)^{2})^{2} -4(x+2)^{2} - 1 = 0$

Замена: $(x + 2)^{2} = t; t \geq 0$

$5t^{2} - 4t - 1 = 0$

$D = 16 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^{2}$

$t_{1} = \dfrac{4 + 6}{2\cdot 5} = \dfrac{10}{10} = 1$

$t_{2} = \dfrac{4 - 6}{2 \cdot 5} = \dfrac{-2}{2 \cdot 5} = -0,2$

Так как $t \geq 0$, то $t = t_{1} = 1$

$(x + 2)^{2} = 1$

$\sqrt{(x + 2)^{2}} = \sqrt{1}$

$|x + 2| = 1$

$x + 2 = 1; -x - 2 =1$

$x = 1 - 2; -x =1 + 2|*(-1)$

$x_{1} = -1;x_{2} = -3$

Answer 3

Давайте решим данное уравнение. Для начала, давайте заметим, что у нас есть квадраты биномов в уравнении, что упрощает процесс. Давайте сделаем замену:

Пусть $a = x^2 + 4x + 4$ и $b = x + 2$. Тогда у нас есть:

$5a^2 - 4b^2 - 1 = 0$

Теперь мы можем решить это уравнение:

$5a^2 - 4b^2 - 1 = 0$

$5a^2 - 4b^2 = 1$

Теперь мы можем разложить разность квадратов:

$(\sqrt{5}a + 2b)(\sqrt{5}a - 2b) = 1$

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. $\sqrt{5}a + 2b = 1$
2. $\sqrt{5}a - 2b = -1$

Решим эту систему методом сложения уравнений. Для этого сложим оба уравнения:

$(\sqrt{5}a + 2b) + (\sqrt{5}a - 2b) = 1 - 1$

Это упрощается до:

$2\sqrt{5}a = 0$

Теперь мы можем найти значение $a$:

$a = 0$

Теперь, зная значение $a$, мы можем найти значение $b$ из любого из двух исходных уравнений. Давайте используем первое уравнение:

$\sqrt{5}a + 2b = 1$

$\sqrt{5}(0) + 2b = 1$

$2b = 1$

$b = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть значения $a$ и $b$. Давайте вернемся к нашим исходным переменным $x$:

$a = x^2 + 4x + 4 = 0$

$b = x + 2 = \frac{1}{2}$

Давайте решим второе уравнение относительно $x$:

$x + 2 = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2} - 2$

$x = -\frac{3}{2}$

Таким образом, у нас есть два корня уравнения:

$x_1 = -\frac{3}{2}$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.