Question

Доказать, что 7^n + 1 кратно 4

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

все просто

если n четное число, то 7 в этой степени становится нечетной, а затеи прибавим еще 1 и число становится четной, кратной 4.

если же n нечетное, то 7 в этой степени будет нечетным, а далее все так же, как и выше.

Answer 2

Для доказательства, что выражение 7^n + 1 кратно 4 для всех натуральных n, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Индукция - это метод математического доказательства, который состоит в следующем:

1. Показать, что утверждение верно для начального значения n (например, n = 1).
2. Предположить, что утверждение верно для некоторого произвольного n = k (это называется "индуктивное предположение").
3. Доказать, что из этого следует, что утверждение также верно для n = k + 1.

Давайте начнем:

1. Базовый случай (n = 1): При n = 1 у нас есть 7^1 + 1 = 7 + 1 = 8. Это число точно кратно 4, так как оно делится на 4 без остатка.

2. Индуктивное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного n = k, то есть 7^k + 1 кратно 4.

3. Индуктивный шаг (n = k + 1): Теперь давайте рассмотрим выражение при n = k + 1: 7^(k+1) + 1

   Мы можем записать это выражение как: 7^k * 7 + 1

   Теперь воспользуемся нашим индуктивным предположением: 7^k + 1 кратно 4. Значит, мы можем записать это как: 4m + 1, где m - целое число.

   Теперь, если мы умножим это выражение на 7, то получим: 4m * 7 + 7

   Заметим, что первое слагаемое 4m * 7 является кратным 4, так как умножение на 7 не изменяет кратности 4, а второе слагаемое 7 равно 7.

   Таким образом, 7^(k+1) + 1 = 4m * 7 + 7. Итак, мы видим, что выражение также кратно 4.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1. Мы уже доказали базовый случай (n = 1), поэтому по принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных n.