Question

Докажите, что точки пересечения кривых 4x^2-2xy+3y^2=11 и x^2+4xy+3y^2=3 лежат на одной окружности Точек пересечения 4

Answer 1

Ответ:

....................................................

Объяснение:

Answer 2

Чтобы доказать, что точки пересечения данных кривых лежат на одной окружности, мы должны показать, что уравнения этих кривых можно записать в виде уравнения окружности. Первым шагом является вычисление точек пересечения этих кривых.

Даны уравнения:

1. $4x^2 - 2xy + 3y^2 = 11$
2. $x^2 + 4xy + 3y^2 = 3$

Мы можем попытаться решить это систему уравнений. Для этого давайте выразим одну переменную через другую и подставим это выражение в другое уравнение.

Из уравнения (1) выразим $y$ через $x$: $4x^2 - 2xy + 3y^2 = 11 \implies 3y^2 = 11 - 4x^2 + 2xy \implies y^2 = \frac{11 - 4x^2 + 2xy}{3}$

Теперь подставим это в уравнение (2): $x^2 + 4xy + 3\left(\frac{11 - 4x^2 + 2xy}{3}\right) = 3$

Упростим это уравнение: $x^2 + 4xy + 11 - 4x^2 + 2xy = 3$

Теперь объединим похожие члены: $2x^2 + 6xy + 11 - 4x^2 = 3$

$2x^2 + 6xy - 4x^2 + 11 - 3 = 0$

$2x^2 - 4x^2 + 6xy + 8 = 0$

$-2x^2 + 6xy + 8 = 0$

Теперь разделим все члены на -2: $x^2 - 3xy - 4 = 0$

Теперь, у нас есть уравнение кривой, на которой лежат точки пересечения обеих исходных кривых.

Давайте проверим, можно ли представить это уравнение как уравнение окружности. Уравнение окружности в общем виде имеет следующий вид:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Где $(h, k)$ - координаты центра окружности, а $r$ - радиус окружности. Сравнивая это с уравнением $x^2 - 3xy - 4 = 0$, видно, что у нас отсутствуют члены вида $x^2$ и $y^2$, и нет линейных членов. Это говорит о том, что уравнение не является уравнением окружности, а следовательно, точки пересечения данных кривых не лежат на одной окружности.

Таким образом, точки пересечения данных кривых не лежат на одной окружности.