Question

Плииз Решите уравнения, используя умножение на сопряженное уравнение: √(3х²-7х+3)-√(х²-2)=√(3х²-5х-1)-√(х²-3х+4)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Решите уравнения, используя умножение

на сопряженное уравнение:

√(3х²-7х+3)-√(х²-2)=√(3х²-5х-1)-√(х²-3х+4)

преобразуем

√(3х²-7х+3)-√(3х²-5х-1)=√(х²-2)-√(х²-3х+4)

Применяя метод домножения на сопряжённое выражение, преобразуем левую и правую части уравнения:

$\displaystyle\\\sqrt{3x^2-7x+3} -\sqrt{3x^2-5x-1} =\\\\=\frac{(\sqrt{3x^2-7x+3} -\sqrt{3x^2-5x-1})(\sqrt{3x^2-7x+3} +\sqrt{3x^2-5x-1})}{\sqrt{3x^2-7x+3} +\sqrt{3x^2-5x-1}} =\\\\\\=\frac{3x^2-7x+3-3x^2+5x+1}{\sqrt{3x^2-7x+3} +\sqrt{3x^2-5x-1}} =\\\\\\=\frac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-7x+3} +\sqrt{3x^2-5x-1}}$

$\displaystyle\\\sqrt{x^2-2} -\sqrt{^2-3x+4}=\\\\=\frac{(\sqrt{x^2-2} -\sqrt{x^2-3x+4})(\sqrt{x^2-2} +\sqrt{x^2-3x+4})}{\sqrt{x^2-2} +\sqrt{x^2-3x+4}} =\\\\\\=\frac{x^2-2-x^2+3x-4}{\sqrt{x^2-2} +\sqrt{x^2-3x+4}} = \frac{3x-6}{\sqrt{x^2-2} +\sqrt{x^2-3x+4}}$

уравнение принимает вид

$\displaystyle\frac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-7x+3} +\sqrt{3x^2-5x-1}}=\frac{3x-6}{\sqrt{x^2-2} +\sqrt{x^2-3x+4}}$

$\displaystyle\\(x-2)\bigg(\frac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4} } +\frac{2}{\sqrt{3x^2-7x+3} +\sqrt{3x^2-5x-1} } \bigg)=0$

выражение во вторых скобках строго положительно

x-2=0

x=2

подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что х=2

является корнем данного уравнения

Ответ: x=2

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение с использованием умножения на сопряженное уравнение, мы сначала умножим обе стороны на сопряженное выражение и воспользуемся формулой разности квадратов для корней.

Умножим обе стороны на сопряженное выражение (сопряженное для корня √(a) это √(a)):

[√(3x² - 7x + 3) - √(x² - 2)][√(3x² - 7x + 3) + √(x² - 2)] = [√(3x² - 5x - 1) - √(x² - 3x + 4)][√(3x² - 5x - 1) + √(x² - 3x + 4)]

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:

(a - b)(a + b) = a² - b²

Для левой стороны:

[√(3x² - 7x + 3) - √(x² - 2)][√(3x² - 7x + 3) + √(x² - 2)] = (3x² - 7x + 3) - (x² - 2) = 3x² - 7x + 3 - x² + 2 = 2x² - 7x + 5

Аналогично для правой стороны:

[√(3x² - 5x - 1) - √(x² - 3x + 4)][√(3x² - 5x - 1) + √(x² - 3x + 4)] = (3x² - 5x - 1) - (x² - 3x + 4) = 3x² - 5x - 1 - x² + 3x - 4 = 2x² - 2

Таким образом, наше уравнение теперь выглядит следующим образом:

2x² - 7x + 5 = 2x² - 2

Теперь вычитаем 2x² из обеих сторон уравнения:

-7x + 5 = -2

Теперь вычитаем 5 из обеих сторон уравнения:

-7x = -2 - 5 -7x = -7

Теперь делим обе стороны на -7, чтобы найти x:

x = (-7) / (-7) x = 1

Итак, решение уравнения равно:

x = 1