Question

X/y+y/x=10/3 x^2-y^2=72 помогите решить систему уравнений методом замены переменных, пожалуйста

Answer 1

Ответ:(9;3) (-9;-3)

Объяснение:

Смотреть фото:

Answer 2

Давайте решим эту систему уравнений методом замены переменных. Сначала найдем подходящие замены, которые упростят систему.

Из первого уравнения:

bashCopy code
x/y + y/x = 10/3

Перемножим обе стороны на 3xy, чтобы избавиться от знаменателей:

Copy code
3x^2 + 3y^2 = 10xy

Теперь у нас есть два уравнения:

markdownCopy code
1. 3x^2 + 3y^2 = 10xy
2. x^2 - y^2 = 72

Для упрощения системы давайте введем новые переменные. Пусть

makefileCopy code
u = x + y
v = x - y

Тогда мы можем записать следующие выражения:

makefileCopy code
x = (u + v)/2
y = (u - v)/2

Теперь мы можем выразить x^2 и y^2 через u и v:

scssCopy code
x^2 = (u + v)^2/4
y^2 = (u - v)^2/4

Подставим эти выражения в уравнения (1) и (2):

scssCopy code
1. (3/4)((u + v)^2 + (u - v)^2) = (10/2)(u^2 - v^2)
2. ((u + v)^2/4) - ((u - v)^2/4) = 72

Теперь мы имеем систему уравнений:

scssCopy code
1. (3/4)(2u^2 + 2v^2) = 10(u^2 - v^2)
2. (u + v)^2 - (u - v)^2 = 288

Давайте решим эту систему поочередно.

Для первого уравнения:

scssCopy code
(3/4)(2u^2 + 2v^2) = 10(u^2 - v^2)
3u^2 + 3v^2 = 10u^2 - 10v^2
3u^2 - 10u^2 + 3v^2 + 10v^2 = 0
-7u^2 + 13v^2 = 0

Для второго уравнения:

scssCopy code
(u + v)^2 - (u - v)^2 = 288
u^2 + 2uv + v^2 - (u^2 - 2uv + v^2) = 288
4uv = 288
uv = 72

Теперь у нас есть два уравнения:

markdownCopy code
1. -7u^2 + 13v^2 = 0
2. uv = 72

Мы можем решить второе уравнение относительно u или v, например, выразить u через v:

bashCopy code
u = 72/v

Подставим это выражение в первое уравнение:

scssCopy code
-7(72/v)^2 + 13v^2 = 0
-7(5184/v^2) + 13v^2 = 0
-36288/v^2 + 13v^2 = 0
-36288 + 13v^4 = 0
13v^4 = 36288
v^4 = 36288/13
v^4 = 2784
v = ±√(2784) ≈ ±24

Теперь мы знаем v. Мы можем найти u с использованием уравнения uv = 72:

makefileCopy code
u = 72/v
u = 72/24 = 3

Итак, у нас есть две пары значений (u, v):

1. (u = 3, v = 24)
2. (u = 3, v = -24)

Теперь, используя выражения x = (u + v)/2 и y = (u - v)/2, мы можем найти соответствующие значения x и y для каждой из этих пар:

1. (x = (3 + 24)/2 = 27/2, y = (3 - 24)/2 = -21/2)
2. (x = (3 - 24)/2 = -21/2, y = (3 + 24)/2 = 27/2)

Итак, у нас есть две пары решений для системы уравнений:

1. (x = 27/2, y = -21/2)
2. (x = -21/2, y = 27/2)

Это окончательные ответы.