Question

Вычислить площадь криволинейной поверхности, ограниченной: у = (х – 2)2 и у = 4 – х у = (х – 2)2 , у = 4 – х и осью Ох

Answer 1

Ответ:

1) y=16-x^2

S=f(16-x^2)dx от -2 до 2=2f(16-x^2)dx от 0 до

2 =

=2*(16x-x^3/3) от 0 до 2 =

2*(32-8/3)=2*88/3=176/3

2) y=x^2+1

S=f(x^2+1)dx от -1 до 2= (x^3/3+х) от -1 до 2 =

=(8/3+2)-(-1/3-1)=6

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной поверхности, ограниченной графиками функций y = (x - 2)^2, y = 4 - x, и осью OX, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Площадь можно найти, разбив эту область на маленькие вертикальные полоски и затем интегрировав их.

Сначала найдем точки пересечения графиков функций:

1. Решим уравнение (x - 2)^2 = 4 - x: (x - 2)^2 = 4 - x Раскроем квадрат: x^2 - 4x + 4 = 4 - x Переносим все на одну сторону: x^2 - 3x = 0 x(x - 3) = 0 x = 0 и x = 3

Таким образом, точки пересечения графиков - это x = 0 и x = 3.

Теперь мы можем интегрировать по x от 0 до 3 для нахождения площади между кривыми.

Площадь будет равна интегралу от разности функций y = 4 - x и y = (x - 2)^2 на интервале [0, 3]:

S = ∫[0, 3] (4 - x - (x - 2)^2) dx

Сначала вычислим этот интеграл:

S = ∫[0, 3] (4 - x - (x^2 - 4x + 4)) dx S = ∫[0, 3] (4 - x - x^2 + 4x - 4) dx

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

S = ∫[0, 3] (4 - x - x^2 + 4x - 4) dx S = [4x - (x^2 / 2) - (x^3 / 3) + 2x^2 - 4x] |[0, 3]

Теперь вычислим значения интеграла на интервалах [0, 3]:

S = (43 - (3^2 / 2) - (3^3 / 3) + 23^2 - 43) - (40 - (0^2 / 2) - (0^3 / 3) + 20^2 - 40)

S = (12 - (9 / 2) - (27 / 3) + 18 - 12) - (0 - 0 - 0 + 0 - 0)

S = (12 - (9 / 2) - 9 + 18 - 12) - 0

Теперь вычислим значения:

S = (12 - 4.5 - 9 + 18 - 12) - 0 S = 4.5

Таким образом, площадь криволинейной поверхности, ограниченной функциями y = (x - 2)^2, y = 4 - x и осью OX, равна 4.5 квадратным единицам.