Question

Используя формулы двойного угла, выразите ѕіna через тригонометрические функции угла a/2​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\Sin\alpha =Sin\Big(2\cdot \frac{\alpha }{2} \Big)=2Sin\frac{\alpha }{2} Cos\frac{\alpha }{2}$

Answer 2

Для выражения синуса угла через тригонометрические функции угла $\frac{a}{2}$, мы можем воспользоваться формулами двойного угла для синуса. Вот как это сделать:

Сначала представим синус угла $a$ через синус половины этого угла: $\sin(a) = 2\sin\left(\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{a}{2}\right)$

Затем мы можем выразить косинус угла $\frac{a}{2}$ через синус этого угла и синус угла $a$: $\cos\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{1 - \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2(a)}{4}}$

Теперь мы можем подставить это значение обратно в исходное уравнение и выразить синус $\sin(a)$ через синус $\frac{a}{2}$: $\sin(a) = 2\sin\left(\frac{a}{2}\right)\sqrt{1 - \frac{\sin^2(a)}{4}}$

Для более чистого вида мы можем избавиться от корня, возводя обе стороны уравнения в квадрат: $\sin^2(a) = 4\sin^2\left(\frac{a}{2}\right)\left(1 - \frac{\sin^2(a)}{4}\right)$

Теперь решим это уравнение относительно $\sin(a)$: $\sin^2(a) = 4\sin^2\left(\frac{a}{2}\right) - \sin^2(a)\sin^2\left(\frac{a}{2}\right)$

$\sin^2(a) + \sin^2(a)\sin^2\left(\frac{a}{2}\right) = 4\sin^2\left(\frac{a}{2}\right)$

$\sin^2(a) \left(1 + \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)\right) = 4\sin^2\left(\frac{a}{2}\right)$

$\sin^2(a) = \frac{4\sin^2\left(\frac{a}{2}\right)}{1 + \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)}$

Теперь выразим $\sin(a)$: $\sin(a) = \frac{2\sin\left(\frac{a}{2}\right)}{\sqrt{1 + \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)}}$

Это и есть выражение синуса угла $a$ через тригонометрическую функцию угла $\frac{a}{2}$.