Question

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b↓n), в которой: b↓1=3√2, q=√2

Answer 1

$\displaystyle\bf\\b_{1} =3 \ \ ; \ \ q=\sqrt{2}\\\\\\S_{6}=\frac{b_{1} \cdot(q^{6} -1)}{q-1} =\frac{3\cdot\Big[(\sqrt{2})^{6} -1\Big] }{\sqrt{2} -1} =\frac{3\cdot(8-1)}{\sqrt{2} -1} =\frac{21}{ \sqrt{2}-1 } =\\\\\\=\frac{21\cdot(\sqrt{2} +1)}{(\sqrt{2} -1)(\sqrt{2} +1)} =\frac{21\cdot(\sqrt{2} +1)}{(\sqrt{2}) ^{2} -1^{2} } =\frac{21\cdot(\sqrt{2} +1)}{2-1} =21(\sqrt{2}+1)$

Answer 2

Для нахождения суммы первых шести членов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q}$

где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии,
• $b_1$ - первый член прогрессии,
• $q$ - знаменатель прогрессии (отношение любого члена к предыдущему члену).

В данном случае:

• $b_1 = 3\sqrt{2}$
• $q = \sqrt{2}$

Теперь мы можем найти сумму первых шести членов прогрессии:

$S_6 = \frac{3\sqrt{2} \cdot (1 - (\sqrt{2})^6)}{1 - \sqrt{2}}$

Теперь вычислим это выражение:

$S_6 = \frac{3\sqrt{2} \cdot (1 - 2^3)}{1 - \sqrt{2}}$

$S_6 = \frac{3\sqrt{2} \cdot (1 - 8)}{1 - \sqrt{2}}$

$S_6 = \frac{3\sqrt{2} \cdot (-7)}{1 - \sqrt{2}}$

Теперь упростим числитель:

$S_6 = \frac{-21\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

Теперь, чтобы избавиться от знаменателя в виде корня, умножим и разделим на его сопряженное значение:

$S_6 = \frac{-21\sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2}) \cdot (1 + \sqrt{2})}$

$S_6 = \frac{-21\sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2})}{1 - 2}$

$S_6 = \frac{-21\sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2})}{-1}$

$S_6 = 21\sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2})$

Теперь умножим числители:

$S_6 = 21\sqrt{2} + 21\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$