Question

Завдання 1 Підберіть за теоремою Вієта корені рівняння: а) x²+x-12=0, б) x²-2x-35=0, в) x²+13x+22=0 Завдання 2 Число -12 є коренем рівняння x²+15x+q=0. Знайдіть значення q та другий корінь рівняння. Завдання 3 Відомо,що х₁ та х₂ -корені квадратного рівняння x²-9x+11=0. Не розв'язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: а) +, б) х₁²х₂+х₁х₂², в) х₁³+х₂³.

Answer 1

Объяснение:

номер 1:

а) х²+х-12=0

х1+х2=-1

х1х2=-12

х1 = -4; х2 = 3

б) х²-2х-35 = 0

х1+х2 = 2

х1х2 = -35

х1 = 7; х2 = -5

в) х²+13х+22 = 0

х1+х2= -13

х1х2 = 22

х1 = -11; х2 = -2

номер 2:

х²+15х+q =0

-12 + х2 = -15

х2 = -15 + 12

х2 = -3

х1х2 = q

(-3)*(-12) = q

q = 36

номер 3:

а) ничего не написано в условии

б)

$x_{1}{}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2} {}^{2} = x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2}) = 11 \times 9 = 99$

в)

${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3 } = (x_{1} +x_{2} )( {(x_{1} +x_{2}) }^{2} - 2 x_{1}x_{2} - x_{1}x_{2}) = 9( {9}^{2} - 2 \times 11 - 11) = 9(81 - 33) = 9 \times 48 = 432$

Answer 2

Завдання 1: а) Рівняння x² + x - 12 = 0 можна представити у вигляді (x - 3)(x + 4) = 0, тобто корені -3 і 4. б) Рівняння x² - 2x - 35 = 0 можна представити у вигляді (x - 7)(x + 5) = 0, тобто корені -5 і 7. в) Рівняння x² + 13x + 22 = 0 можна представити у вигляді (x + 11)(x + 2) = 0, тобто корені -11 і -2.

Завдання 2: Якщо число -12 є коренем рівняння x² + 15x + q = 0, то ми можемо використовувати теорему Вієта. За цією теоремою, сума коренів рівняння дорівнює протилежному коефіцієнту при x, тобто -15. Один з коренів вже відомий (-12), отже, другий корінь має бути -15 - (-12) = -3.

Також, за теоремою Вієта, добуток коренів рівняння дорівнює вільному члену, тобто q. Ми знаємо добуток коренів: (-12) * (-3) = 36, отже, q = 36.

Завдання 3: За теоремою Вієта, сума коренів рівняння x² - 9x + 11 = 0 дорівнює протилежному коефіцієнту при x, тобто 9. Отже, х₁ + х₂ = 9.

а) Для знаходження суми квадратів коренів можна використовувати наступну формулу: (х₁ + х₂)² = х₁² + 2х₁х₂ + х₂². Знаючи суму (9) і добуток коренів (11), ми можемо знайти: (х₁ + х₂)² = 9² = 81.

б) Добуток кубів коренів можна знайти, використовуючи наступну формулу: х₁³ + х₂³ = (х₁ + х₂)³ - 3х₁х₂(х₁ + х₂). Ми вже знаємо суму коренів (9) і добуток коренів (11), отже, х₁³ + х₂³ = 9³ - 3 * 11 * 9 = 729 - 297 = 432.

в) Тут ми можемо використовувати формулу х₁³ + х₂³ = (х₁ + х₂)³ - 3х₁х₂(х₁ + х₂), як і в попередньому пункті. Таким чином, х₁³ + х₂³ = 9³ - 3 * 11 * 9 = 729 - 297 = 432.