Question

СРОЧНО!! МНОГО БАЛЛОВ! Шестизначный номер билета считают «счастливым», если сумма первых трех цифр номера равна сумме последних трех цифр. Могут ли номера двух «счастливых» отличаться на 1) 100 номеров; 2)171 номер; 3) 2011 номеров?

Answer 1

Ответ:

Номера счастливых билетов не могут отличаться на 100, но могут отличаться на 171 или 2011.

Объяснение:

Нужно определить, могут ли номера двух счастливых шестизначных билетов отличаться на 100, 171 или 2011. Это можно понять, проследив за суммами первых трёх цифр и последних трёх цифр в отдельности. Если меньшее число имеет вид ABCDEF, то его суммы цифр равны, соответственно, A + B + C и D + E + F.

Ещё пригодится следующий факт: сумма цифр числа и само число дают одинаковые остатки при делении на 9. Для трёхзначных чисел это легко показать: если само число равно ABC = 100A + 10B + C, то разность между ним и его суммой цифр (100A + 10B + C) – (A + B + C) = 99A + 9B = 9(11A + B) делится на 9. Из этого следует, что для счастливого числа ABCDEF разность ABC – DEF обязана делиться на 9, так как ABC и DEF имеют одинаковые остатки при делении на 9.

а) Поймём, как выглядит число ABCDEF + 100. Само собой, мы рассматриваем только такие варианты, когда после добавления 100 получается тоже шестизначное число. Возможны 2 варианта в зависимости от того, чему равно число DEF: если D = 9, то будет переход через разряд (например, как в 810900 + 100 = 811000), иначе не будет (например, как в 800800 + 100 = 800900).

• В первом случае первые три цифры нового числа составят число ABC + 1, а последние три — число DEF + 100 – 1000 = DEF - 900. Разность этих чисел даёт такой же остаток при делении на 9, что и разность сумм цифр, которая равна (ABC + 1) – (DEF - 900) = (ABC – DEF) – 899. Если бы новое число тоже было счастливым, то разность должна была делиться на 9, но это не так: ABC – DEF делится на 9, а 899 нет, тогда и вся разность не делится на 9. Поэтому новое число не может быть счастливым.
• Во втором случае всё совсем просто, сумма цифр DEF увеличивается на 1, ABC не меняется. Новое число не может быть счастливым.

Значит, два числа, отличающиеся на 100, счастливыми быть не могут.

б) Тут через разряд может перенестись 1 (если DEF + 171 > 999) или 0. Таким же образом разбираем случаи:

• Перенос есть: новые тройки цифр составляют числа ABC + 1 и DEF + 171 – 1000 = DEF – 829. Их разность (ABC + 1) – (DEF - 829) = (ABC - DEF) + 830 не делится на 9.
• Переноса нет: новые тройки ABC и DEF + 171. Разность (ABC – DEF) – 171 делится на 9, значит, теоретически так могло бы быть. Можно и дальше рассматривать случаи, как складываются DEF и 171, но проще просто попытаться подобрать пример. Например, подойдёт ABCDEF = 102030: при этом новое число 102030 + 171 = 102201 тоже счастливое.

в) Здесь новое число состоит из троек ABC + 2 и DEF + 11 или ABC + 3 и DEF + 11 – 1000. Рассмотрев аналогично, получаем, что возможен только первый случай. Пример, например, может быть таким: 100001 + 2011 = 102012.

#SPJ3

Answer 2

Для того чтобы понять, могут ли номера двух "счастливых" билетов отличаться на заданное количество номеров, давайте рассмотрим условия для счастливых билетов и проанализируем каждый вариант:

1. Если номера отличаются на 100 номеров:

   • Первый билет имеет номер ABCDEF.
   • Второй билет имеет номер ABCDEF + 100.

   При сравнении суммы первых трех цифр (ABC) и суммы последних трех цифр (DEF) для обоих билетов не произойдет изменений, так как разница в 100 не затрагивает сумму цифр. Поэтому номера могут отличаться на 100 номеров и при этом оставаться "счастливыми".

2. Если номера отличаются на 171 номер:

   • Первый билет имеет номер ABCDEF.
   • Второй билет имеет номер ABCDEF + 171.

   При таком отличии номеров суммы первых трех цифр (ABC) и суммы последних трех цифр (DEF) также не изменятся, так как 171 не влияет на сумму цифр. Таким образом, номера могут отличаться на 171 номер и оставаться "счастливыми".

3. Если номера отличаются на 2011 номеров:

   • Первый билет имеет номер ABCDEF.
   • Второй билет имеет номер ABCDEF + 2011.

   В этом случае разница в 2011 также не затрагивает сумму цифр в номерах, поэтому номера могут отличаться на 2011 номер и оставаться "счастливыми".

Итак, номера могут отличаться на указанные значения (100, 171 и 2011 номеров) и при этом оставаться "счастливыми".