Question

Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называют «счастливым», если сумма первых трёх цифр его номера равно сумме трёх последних цифр. Докажите, что количество всех «счастливых» билетов четно.

Answer 1

Ответ:

Нашла в интернете такой ответ: Переставим в номере билета первые три цифры с последними тремя цифрами. Полученный билет и поставим в пару исходному (например, билету 239671 парой будет 671239). Очевидно, что этот билет также будет счастливым и парой к нему является исходный билет. Так мы разбили на пары все билеты кроме тех, которые являются парными сами к себе. Это билеты, для которых первые три цифры номера совпадают с последними тремя цифрами (все такие билеты счастливые). Сколько таких билетов? Их ровно 1000. Действительно, первые три цифры их номера могут образовывать любое трехзначное число от 000 до 999 (всего 1000 возможностей), при этом оставшиеся три цифры однозначно определяются первыми тремя (а именно, должны их в точности повторять). Итак, мы имеем какое-то количество счастливых билетов, разбитых на пары (оно очевидно четное), и еще 1000 билетов, пары не получивших. Значит, общее число счастливых билетов четно.

Answer 2

Для доказательства, что количество всех "счастливых" билетов четно, мы можем рассмотреть два случая.

Предположим, что у нас есть один "счастливый" билет. Пусть его номер состоит из шести цифр: abcdef, где a, b, c - первые три цифры, а d, e, f - последние три цифры. По условию задачи, сумма a + b + c равна сумме d + e + f.

Теперь рассмотрим другой "счастливый" билет, у которого номер состоит из тех же цифр, но в обратном порядке: fedcba. В этом случае сумма f + e + d равна сумме c + b + a.

Мы можем заметить, что каждому "счастливому" билету с номером abcdef соответствует ещё один "счастливый" билет с номером fedcba, так как суммы первых трёх цифр равны суммам последних трёх цифр в обоих случаях.

Таким образом, каждому "счастливому" билету можно сопоставить другой "счастливый" билет. Это означает, что количество всех "счастливых" билетов будет четным числом, так как каждый "счастливый" билет имеет пару.

Поэтому мы доказали, что количество всех "счастливых" билетов четно.