Question

Решить уравнение cos(пи+х)+sin((пи+х)/2)=1 Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (3пи; 9пи/2]

Answer 1

Формулы приведения:

$\cos(\pi +\alpha )=-\cos\alpha$

$\sin\left(\dfrac{\pi }{2}+\alpha \right) =\cos \alpha$

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =2\cos^2\alpha -1$

Рассмотрим уравнение:

$\cos(\pi +x)+\sin\dfrac{\pi +x}{2} =1$

$\cos(\pi +x)+\sin\left(\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{x}{2} \right) =1$

Воспользовавшись формулами приведения, получим:

$-\cos x+\cos\dfrac{x}{2} =1$

Воспользовавшись формулой косинуса двойного угла, получим:

$-\left(2\cos^2\dfrac{x}{2}-1\right)+\cos\dfrac{x}{2} =1$

$-2\cos^2\dfrac{x}{2}+1+\cos\dfrac{x}{2} -1=0$

$-2\cos^2\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}=0$

$-\cos\dfrac{x}{2}\left(2\cos\dfrac{x}{2}-1\right)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Решаем первое уравнение:

$\cos\dfrac{x}{2}=0\Rightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow \boxed{x_1=\pi +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

Решаем второе уравнение:

$2\cos\dfrac{x}{2}-1=0\Rightarrow \cos\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{x}{2}=\pm\dfrac{\pi }{3}+2\pi n\Rightarrow \boxed{x_{23}=\pm\dfrac{2\pi }{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

Выполним отбор корней на полуинтервале $\left(3\pi ;\ \dfrac{9\pi }{2} \right]$.

Рассмотрим первую серию корней:

$3\pi < \pi +2\pi n\leqslant\dfrac{9\pi }{2}$

$3 < 1 +2 n\leqslant\dfrac{9 }{2}$

$3-1 < 2 n\leqslant\dfrac{9 }{2}-1$

$2 < 2 n\leqslant\dfrac{7 }{2}$

$1 < n\leqslant\dfrac{7 }{4}$

Целых чисел, удовлетворяющих полученному двойному неравенству, нет. Значит, первая серия не дает корней на заданном промежутке.

Рассмотрим вторую серию корней:

$3\pi < \dfrac{2\pi }{3} +4\pi n\leqslant\dfrac{9\pi }{2}$

$3 < \dfrac{2 }{3} +4 n\leqslant\dfrac{9 }{2}$

$3-\dfrac{2 }{3} < 4 n\leqslant\dfrac{9 }{2}-\dfrac{2 }{3}$

$\dfrac{9}{3} -\dfrac{2 }{3} < 4 n\leqslant\dfrac{27 }{6}-\dfrac{4 }{6}$

$\dfrac{7}{3} < 4 n\leqslant\dfrac{23 }{6}$

$\dfrac{7}{12} < n\leqslant\dfrac{23 }{24}$

Целых чисел, удовлетворяющих полученному двойному неравенству, нет. Значит, вторая серия не дает корней на заданном промежутке.

Рассмотрим третью серию корней:

$3\pi < - \dfrac{2\pi }{3} +4\pi n\leqslant\dfrac{9\pi }{2}$

$3 < -\dfrac{2 }{3} +4 n\leqslant\dfrac{9 }{2}$

$3+\dfrac{2 }{3} < 4 n\leqslant\dfrac{9 }{2}+\dfrac{2 }{3}$

$\dfrac{9}{3} +\dfrac{2 }{3} < 4 n\leqslant\dfrac{27 }{6}+\dfrac{4 }{6}$

$\dfrac{11}{3} < 4 n\leqslant\dfrac{31}{6}$

$\dfrac{11}{12} < n\leqslant\dfrac{31}{24}$

Единственное целое число, удовлетворяющее полученному двойному неравенству, - это число 1.

При $n=1$:

$x=- \dfrac{2\pi }{3} +4\pi\cdot 1=4\pi- \dfrac{2\pi }{3} =\dfrac{12\pi }{3} - \dfrac{2\pi }{3} =\boxed{\dfrac{10\pi }{3}}$

Ответ: общее решение: $\pi +2\pi n;\ \pm\dfrac{2\pi }{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$;

корень на заданном промежутке: $\dfrac{10\pi }{3}$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и найдем его корни на заданном интервале:

cos(π + x) + sin((π + x)/2) = 1

Сначала рассмотрим первый член уравнения:

cos(π + x)

Мы знаем, что cos(π + x) = -cos(x), так как косинус имеет период 2π и cos(π) = -1.

Теперь рассмотрим второй член уравнения:

sin((π + x)/2)

Здесь можно воспользоваться формулой половинного угла для синуса:

sin((π + x)/2) = sin(π/2 + x/2)

sin(π/2) = 1, поэтому:

sin((π + x)/2) = sin(x/2)

Теперь у нас есть уравнение:

-cos(x) + sin(x/2) = 1

Перенесем -cos(x) на другую сторону:

sin(x/2) = 1 + cos(x)

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой:

sin(x/2) = 2sin(x/4)cos(x/4)

Из уравнения выше, мы знаем, что sin(x/2) = 1 + cos(x), поэтому:

2sin(x/4)cos(x/4) = 1 + cos(x)

Теперь мы можем воспользоваться тождеством двойного угла для синуса:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

В данном случае, θ = x/4:

sin(x/2) = sin(2(x/4))

2sin(x/4)cos(x/4) = sin(2(x/4))

Теперь у нас есть:

sin(2(x/4)) = 1 + cos(x)

Заметим, что sin(2(x/4)) = sin(x/2), поэтому:

sin(x/2) = 1 + cos(x)

Имеем следующее уравнение:

sin(x/2) - cos(x) = 1

Теперь мы можем решать это уравнение на заданном интервале (3π; 9π/2]. Для этого мы можем воспользоваться численными методами или графически. Попробуем решить уравнение графически.

Сначала нарисуем графики функций sin(x/2) и 1 + cos(x) на заданном интервале и найдем точки их пересечения:

1. Функция sin(x/2) - это синусоида, которая меняет свой знак чередующимся образом.
2. Функция 1 + cos(x) - это косинусоида, сдвинутая вверх на 1 единицу.

Точки пересечения этих функций будут корнями уравнения.

На интервале (3π; 9π/2] сначала определим, сколько периодов синусоиды sin(x/2) полностью умещается в этом интервале. Период sin(x/2) равен 4π, поэтому наш интервал можно разделить на целое число периодов:

(3π; 9π/2] = (3π; 6π] ∪ (6π; 9π/2]

Теперь посмотрим на графики на каждом из этих подинтервалов.

На (3π; 6π] синусоида sin(x/2) принимает значения от -1 до 1, а косинусоида 1 + cos(x) принимает значения от 0 до 2. То есть, на этом интервале нет точек пересечения.

На (6π; 9π/2] синусоида sin(x/2) также принимает значения от -1 до 1, а косинусоида 1 + cos(x) принимает значения от 0 до 2. Исходя из графиков, мы видим, что синусоида sin(x/2) пересекает косинусоиду 1 + cos(x) в двух точках на этом интервале.

Таким образом, на заданном интервале (3π; 9π/2] уравнение sin(x/2) - cos(x) = 1 имеет два корня.

Для точного нахождения этих корней в численном виде, можно воспользоваться методами численного анализа, такими как метод Ньютона или бисекции.