Question

Пусть { }n b — убывающая геометрическая прогрессия с положительными членами. Найдите ее знаменатель, если b4-b1=-7 b3-b2=-2

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\left \{ {b_{4} - b_{1} =-7} \atop {b_{3}- b_{2} =-2}} \right.\\\\\\\left \{ {{b_{1} \cdot q^{3}-b_{1} =-7 } \atop {b_{1}\cdot q^{2}-b_{1} \cdot q=-2 }} \right. \\\\\\\left \{ {{b_{1} \cdot(q^{3} -1)=-7} \atop {b_{1} q\cdot(q-1)=-2}} \right. \\\\\\:\left \{ {{b_{1} \cdot(q -1)\cdot (q^{2} +q+1)=-7} \atop {b_{1} q\cdot(q-1)=-2}} \right. \\-----------------\\\frac{q^{2} +q+1}{q} =\frac{7}{2} \\\\\\2q^{2} +2q+2=7q\\\\2q^{2}-5q +2=0$

$\displaystyle\bf\\D=(-5)^{2} -4\cdot 2\cdot 2=25-16=9=3^{2} \\\\\\q_{1} =\frac{5-3}{4} =\frac{1}{2} \\\\\\q_{2} =\frac{5+3}{4} =2-neyd\\\\\\Otvet \ : \ q=\frac{1}{2}$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся свойствами убывающей геометрической прогрессии (ГП).

У нас есть следующие данные:

1. $b_4 - b_1 = -7$ ...(1)
2. $b_3 - b_2 = -2$ ...(2)

В убывающей геометрической прогрессии $b_n = b_1 \times r^{(n-1)}$, где $b_n$ - n-й член прогрессии, $b_1$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии.

Используя это свойство, мы можем записать уравнения для членов прогрессии:

1. $b_4 = b_1 \times r^3$
2. $b_3 = b_1 \times r^2$
3. $b_2 = b_1 \times r^1$

Подставляя эти выражения в уравнения (1) и (2), мы получаем систему уравнений:

1. $b_1 \times r^3 - b_1 = -7$
2. $b_1 \times r^2 - b_1 \times r = -2$

Далее, мы можем решить эту систему уравнений. Давайте выразим $b_1$ из уравнения (1):

$b_1 \times r^3 - b_1 = -7$

$b_1 \times (r^3 - 1) = -7$

$b_1 = \frac{-7}{r^3 - 1}$

Теперь подставим это значение $b_1$ в уравнение (2):

$\frac{-7}{r^2 - 1} \times r^2 - \frac{-7}{r^2 - 1} \times r = -2$

После упрощения этого уравнения, можно найти значение $r$. После нахождения $r$, мы можем найти $b_1$ и, таким образом, найти знаменатель прогрессии.