Question

Відомо, що числа х і у такі, що х^2 + y^2 = 1. Знайдіть значення виразу x^6 +3x^2y^2 +y^6​

Answer 1

Ответ:

1

Объяснение:

x²=a, y²=b⇒a+b=1

x^6 +3x^2y^2 +y^6​=a³+3ab+b³=(a+b)(a²-ab+b²)+3ab=1·(a²-ab+b²)+3ab= a²-ab+b²+3ab=a²+b²+2ab=(a+b)²=1²=1

Answer 2

Так и просится подстановка $y=\cos t, \quad x=\sin t$:

$x^6+3x^2y^2+y^6=x^6+3x^2(1-x^2)+(y^2)^3=x^6+3x^2(1-x^2)+(1-x^2)^3=\\=x^6+(1-x^2)(3x^2+1-2x^2+x^4)=x^6+(1-x^2)(x^4+x^2+1)=\\=x^6+1-x^6=1$

Выражение $1-x^6$ получилось из предыдущего по формуле разности кубов:

$1^3-a^3=(1-a)(a^2+a+1)$

Answer 3

Для знаходження значення виразу x^6 + 3x^2y^2 + y^6, використаємо рівняння x^2 + y^2 = 1, щоб виразити одну зі змінних через іншу.

Ми можемо виразити, наприклад, x^2 через y^2 або y^2 через x^2. Давайте виразимо x^2 через y^2:

x^2 = 1 - y^2

Тепер підставимо це вираз у вираз, який ми хочемо обчислити:

x^6 + 3x^2y^2 + y^6 = (1 - y^2)^3 + 3(1 - y^2)y^2 + y^6

Розкриємо кожен доданок у виразі:

(1 - y^2)^3 = 1 - 3y^2 + 3y^4 - y^6 3(1 - y^2)y^2 = 3y^2 - 3y^4 y^6 = y^6

Тепер додамо всі ці доданки разом:

(1 - 3y^2 + 3y^4 - y^6) + (3y^2 - 3y^4) + y^6

Зараз знайдемо спрощений вираз:

1 - 3y^2 + 3y^4 - y^6 + 3y^2 - 3y^4 + y^6

Бачимо, що багато доданків змінюються один одному та скасовуються:

1 + 0

Отже, значення виразу x^6 + 3x^2y^2 + y^6 дорівнює 1.