Question

(1+i)×(1-i)¹⁵ вычислить комплексное число в виде тригонометрической записи

Answer 1

Ответ:

$(1 + i)(1 - i)^{15} = \\ \\ = \sqrt{2} (cos( \frac{\pi}{4} ) + i \times sin( \frac{\pi}{4} )) \times ( \sqrt{2} (cos( \frac{7\pi}{4} ) + i \times sin( \frac{7\pi}{4} )))^{15} = \\ \\ = \sqrt{2} (cos( \frac{\pi}{4} ) + i \times sin( \frac{\pi}{4} )) \times 128 \sqrt{2} (cos( \frac{\pi}{4} ) + i \times sin( \frac{\pi}{4} )) = \\ \\ = \sqrt{2} \times 128 \sqrt{2} (cos( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ) + i \times sin( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} )) = \\ \\ = 256(cos( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ) + i \times sin( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} )) = \\ \\ = 256(cos( \frac{\pi}{2} ) + i \times sin( \frac{\pi}{2} ))$

Answer 2

Чтобы вычислить значение выражения (1+i)×(1-i)¹⁵ и представить его в виде тригонометрической записи, давайте сначала упростим выражение:

(1+i)×(1-i) = 1 - i² = 1 - (-1) = 2.

Теперь у нас есть (1+i)×(1-i) = 2. Теперь нужно возвести это число в 15-ую степень:

2¹⁵ = 32, так как 2 в пятнадцатой степени равно 32.

Теперь мы можем представить 32 в тригонометрической форме. Для этого вычислим его модуль и аргумент.

Модуль (абсолютное значение) комплексного числа 32 равен:

|32| = √(32² + 0²) = √(1024) = 32.

Аргумент (угол) можно найти, используя арктангенс отношения между мнимой и действительной частью:

Аргумент = arctan(0/32) = arctan(0) = 0.

Теперь у нас есть модуль (32) и аргумент (0) комплексного числа 32. Мы можем представить его в тригонометрической форме:

32 * (cos(0) + i * sin(0)) = 32 * (1 + 0i) = 32 * 1 = 32.

Таким образом, комплексное число (1+i)×(1-i)¹⁵ в тригонометрической записи равно 32.