Question

У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута. Периметр трапеції дорівнює 126 см, а основи відносяться як 2:3. Знайдіть сторони трапеції та її площу.

Answer 1

Ответ:

42 см, 28 см, 28 см, 28 см, 245√15 см²

Объяснение:

Якщо діагональ трапеції є бісектрисою гострого кута, вона відсікає від трапеції рівнобедрений трикутник, отже МС=КМ.

МС=2х см,  КТ=3х см.

КТ=126-3*2х=126-6х см.

3х=126-6х;   9х=126;   х=14;  КТ=14*3=42 см.

КМ=СМ=СТ=14*2=28 см.

Проведемо висоти МВ і СН, тоді ВН=СМ=28 см,  

ΔКМВ=ΔТСН за катетом та гіпотенузою, отже КВ=ТН=(42-28):2=7 см.

ΔТСН - прямокутний, за теоремою Піфагора

СН=√(СН²-ТН²)=√(784-49)=√735=7√15 см.

S=(МС+КТ):2*СН=(28+42):2*7√15=245√15 см²

Answer 2

Для вирішення цієї задачі ми використаємо основні властивості трапецій та факт, що діагональ є бісектрисою гострого кута в рівнобічній трапеції.

Позначимо довжину меншої основи трапеції як $a$ і довжину більшої основи як $b$. Оскільки основи відносяться як 2:3, ми можемо записати:

$a = \frac{2}{5} \cdot \text{периметр}$ $b = \frac{3}{5} \cdot \text{периметр}$

Також ми знаємо, що $a + b$ дорівнює периметру трапеції, тому:

$a + b = \frac{2}{5} \cdot \text{периметр} + \frac{3}{5} \cdot \text{периметр} = \frac{5}{5} \cdot \text{периметр} = \text{периметр}$

Тепер ми можемо знайти значення периметру:

$\text{периметр} = 126 \, \text{см}$

Отже, $a = \frac{2}{5} \times 126 = 50.4 \, \text{см}$ і $b = \frac{3}{5} \times 126 = 75.6 \, \text{см}$.

Тепер ми можемо знайти висоту трапеції, використовуючи те, що діагональ є бісектрисою гострого кута. Нехай висота трапеції буде $h$. Оскільки діагональ є бісектрисою гострого кута, то ми маємо наступне співвідношення:

$\frac{h}{a} = \frac{h}{b + a}$

Підставляючи значення $a$ і $b$ отримані вище, ми отримаємо:

$\frac{h}{50.4} = \frac{h}{75.6 + 50.4}$ $\frac{h}{50.4} = \frac{h}{126}$

Розв'яжемо це рівняння для $h$:

$h = \frac{126 \times 50.4}{50.4} = 126 \, \text{см}$

Отже, висота трапеції $h = 126 \, \text{см}$.

Тепер ми можемо знайти площу трапеції, використовуючи формулу для площі трапеції:

$S = \frac{(a + b) \times h}{2}$

Підставляючи значення $a$, $b$ і $h$, ми отримаємо:

$S = \frac{(50.4 + 75.6) \times 126}{2} = 63 \times 126 = 7938 \, \text{см}^2$

Отже, площа трапеції дорівнює $7938 \, \text{см}^2$.